Der mehrdimensionale Raum. 
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Ein Punkt kann nur dann in seiner Polarebene liegen, wenn 
er dem quadratischen Gebilde angehört, wie die Vergleichung der 
Gleichungen (6) und (9) zeigt. In diesem Falle enthält jede 
durch den Punkt in der Polarebene gezogene Gerade zwei zu 
sammenfallende Schnittpunkte mit dem Gebilde, oder die Polar 
ebene wird mit der Tangentialebene identisch. 
Gehen wir jetzt von einem Punkte 1 innerhalb oder aufser- 
halb des Gebildes (6) aus und suchen seine Polarebene I. Indem 
wir in der Ebene I einen Punkt 2 wählen, der ebenfalls dem 
Gebilde nicht angehört, und seine Polarebene II suchen, mufs 
dieselbe durch 1 gehen. In der Schnittebene von I und II wählen 
wir wiederum einen Punkt '6, welche ebenfalls nicht auf dem 
Gebilde liegt, und bestimmen seine Polarebene III, welche die 
Punkte 1 und 2 enthält. Indem wir so fortfahren, erhalten wir 
n -f- 1 Punkte, von denen jeder der Pol zu der durch die n 
übrigen Punkte gehenden Ebene ist. Die durch irgend v von 
diesen Punkten gehende (r — 1)-dimensionale Ebene ist die 
reziproke Polarebene zu derjenigen (n — r)-fach ausgedehnten 
Ebene, welche durch die übrigen n -f- 1 — v Punkte bestimmt ist. 
Wählen wir diese Ebenen zu Koordinatenebenen, so stellt sich 
die Gleichung des Gebildes in der Form von n -j-1 Quadraten 
dar. Soll nämlich für x t ' = . .. = Xi_V = Xi-P = . .. = x n+ P die 
Gleichung (9) übergehen in x x = 0, so mufs ai% = 0 für 
und somit wird die Gleichung (6) jetzt J£a ii x i 2 = 0. 
Diese Betrachtung liefert den Beweis, dafs jede quadratische 
Form durch lauter Quadrate dargestellt werden kann, ein Satz, 
welcher auch leicht ohne diese geometrische Einkleidung gezeigt 
werden kann (man vergleiche in Baltzers Determinanten den 
Abschnitt über quadratische Formen). 
Wenn eine quadratische Form nur Quadrate enthält, so 
können auch einige Quadrate den Koeffizienten null haben. So 
möge das quadratische Gebilde in der Form erscheinen; 
Ai xj 2 + A 2 x 2 2 + ... + A e x e 2 = 0, 
während die Koeffizienten A e+1 , A e + 2 • • • A„+i sämtlich ver 
schwinden. Dann mufs die Polarebene eines beliebigen Punktes 
x' sein: AjXixV -f- A 2 x 2 x 2 ' -|- .. . -j- A e x e x e ' = 0; dieselbe geht 
also durch die (n — e)-dimensionale Ebene Xi — x 2 = ...=x e =0