Der mehrdimensionale Raum. 
191 
Die eigentlichen Gebilde zweiten Grades werden unterschieden 
nach der Dimension der Ebenen, welche denselben angehören, 
und zwar mufs die Zahl der Dimensionen für diese Ebenen kleiner 
sein als - : Sobald auf dem Gebilde eine v- dimensionale Ebene 
A 
liegt und durch diese sich keine dem Gebilde angehörige Ebene 
von mehr Dimensionen hindurchlegen läfst, giebt es auf dem 
Gebilde nur Ebenen von v Dimensionen, und zwar geht durch 
jeden Punkt des Gebildes mindestens eine solche Ebene hindurch. 
Die Darstellung der Gleichung durch n -f- 1 Quadrate läfst diese 
Zahl v sofort erkennen. Haben alle Quadrate dasselbe Zeichen, 
so ist das Gebilde imaginär; haben n Quadrate dasselbe Zeichen, 
eins das entgegengesetzte, so ist das Gebilde reell, aber auf dem 
selben liegt keine gerade Linie; weichen zwei Quadrate in ihrem 
Zeichen von den übrigen ab, so enthält das Gebilde gerade Linien, 
aber keine Ebenen. Wenn für n>4 drei Zeichen von den 
übrigen verschieden sind, so enthält das Gebilde zweifach aus 
gedehnte Ebenen. Sind allgemein q Zeichen positiv und ö Zeichen 
negativ, wo q -f- a — n -f-1 ist, so ist die Zahl der Dimensionen 
für die auf dem Gebilde liegenden Ebenen, wofern q — o ist, 
gleich q — 1, und wofern q und ö ungleich sind, gleich der 
kleineren vermindert um eins. 
§ 8. 
Erweiterung der analytischen Behandlung der euklidischen 
Geometrie. 
Diejenigen analytischen Entwicklungen, welche geeignet sind, 
für drei und für vier homogene Variabele die Sätze über Pro- 
jektivität in der Ebene und im Raume zu erweisen, können, wie 
der vorige Paragraph gezeigt hat, auf eine beliebige Zahl von 
Variabein übertragen werden, und die Sätze der Analysis, zu denen 
man hierbei gelangt, können am bequemsten in Worte gekleidet 
werden, wenn man die Sprache der Geometrie benutzt. In ent 
sprechender Weise lassen sich die Sätze der euklidischen Geo 
metrie, sobald man von gewissen Voraussetzungen ausgeht, unter 
Benutzung von drei Koordinaten, also von drei unbeschränkt 
variabeln Gröfsen, auf analytischem Wege gewinnen. Die Rech 
nungen, die zu dem Zwecke ausgeführt werden müssen, nötigen