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Dritter Abschnitt. § 8.
aber an sich nicht, sich auf drei Veränderliche zu beschränken,
man wird ebenfalls ein in sich abgeschlossenes analytisches System
erhalten, wenn man der Untersuchung irgend eine Zahl von
Variabein zu Grunde legt. Die Ergebnisse der Rechnung aber
können wieder am einfachsten ausgesprochen werden, wenn man
geometrische Ausdrücke gebraucht für Begriffe, welche ganz der
Analysis angehören. Das zu erweisen, soll unsere nächste Auf
gabe sein. 33 )
Wir gehen von n Variabeln x l3 x 2 ... x n aus und bezeichnen
jedes Wertsystem (x 1? x 2 . . . x n ) als einen Punkt, und die Ge
samtheit aller Wertsysteme, welche erhalten werden, indem man
allen n Variabein sämtliche reellen Werte beilegt, nennen wir
einen n-dimensionalen Raum. Zwar gestatten wir, dafs mit den
Punkten mancherlei Veränderungen vorgenommen werden; aber
für irgend zwei Punkte x und x', die zugleich geändert werden,
soll die quadratische Form:
(1) ( Xl - Xl ') 2 + (x 2 - x 2 ') 2 + .. . + (x„ - x n ') 2 = 2(ju —Xi') 2
ungeändert bleiben. Die Quadratwurzel aus dieser Form nennen
wir die Entfernung der beiden Punkte, und die Mannigfaltigkeit,
deren Wertsysteme nur der gestellten Forderung gemäfs geändert
werden dürfen, einen euklidischen Raum.
Statt einzelne Punkte einer Transformation zu unterwerfen,
bei der für je zwei der ausgewählten Punkte der Ausdruck (1)
ungeändert bleibt, dürfen wir sämtliche Punkte des Raumes so
transformieren, dafs die Entfernung je zweier Punkte sich nicht
ändert. Wenn also gesetzt wird:
(2) x £ = (fi (ji ... y„), y t = H’( (xi... x„),
und wenn zugleich ist:
Xi' = f/i (yi ... y n )? y t = ipi(x i ... x n '),
so soll allgemein sein:
(3) -£(x i -x l ') 2 = -S(y.-y,') ! -
Da diese Gleichung für alle Werte von x und x' gilt, ist es
gestattet, sie nach jedem x« zu differentieren. Das giebt die
n Gleichungen:
x« — x« — 2[}pi (x) — ipi (x')] fü r «=!... n.
L dX«
Indem man die vorstehende Gleichung nach xß' differentiert
und das bekannte Zeichen daß einführt, welches für gleiche Werte
