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Dritter Abschnitt. § 8. 
gehörige Determinante den Wert +1; man kann daher ein Ge 
bilde stetig in ein zweites umwandeln, wenn die Determinante 
aus den Transformations-Koeffizienten den Wert -J- 1 hat. Dem 
entsprechend nennen wir eine derartige Transformation eine 
Bewegung und bezeichnen zwei Gebilde als kongruent, wenn 
sie sich durch eine Transformation mit positiver Determinante 
in einander überführen lassen. 
Wir suchen die Gesamtheit aller Punkte x, welche von zwei 
festen Punkten x' und x gleichen Abstand haben. Die Koor 
dinaten dieser Punkte müssen der Bedingung genügen: 
2(xt — xF) 2 = 2(x t — Xi ") 2 , 
welche man auch in der Form schreiben kann: 
(6) Sa.i Xi = p, 
wofern gesetzt wird: 
qzi = 2 (x t ' — Xi"), (>p = 2(xc ' 2 — Xi" 2 ). 
Wenn umgekehrt die Koeffizienten a x .. . a n und p, sowie 
die Werte xT...x n ' beliebig gegeben sind, so kann man den 
Faktor q und die Gröfsen x t "... x n " so bestimmen, dafs die 
letzten Gleichungen befriedigt werden. , Denn die ersten n 
Gleichungen drücken die Xi .. . x n ' durch q und die a : ... a n 
aus; setzt man die erhaltenen Werte in die letzte Gleichung ein, 
so folgt: 
_ 2a t Xi' — p 
F ( a i 2 + • • ■ 4“ a n^) 
Hiernach wird o und jede Differenz x ( ' — x L nur dann 
gleich null, wenn der Punkt x' dem durch die Gleichung (6) 
dargestellten Gebilde angehört. 
Jedes Gebilde, dessen Gleichung linear in den Koordinaten 
ist, nennen wir eine (n — 1) - dimensionale Ebene und bezeichnen 
es kurz mit E n _!. Die vorstehenden Entwicklungen haben uns 
zu dem Satze geführt: 
Alle Punkte, welche von zwei gegebenen Punkten gleiche 
Entfernung haben, gehören einer (n—1) - dimensionalen Ebene 
an; und wenn umgekehrt eine (n—l)-fach ausgedehnte Ebene 
und ein Punkt gegeben ist, der nicht in ihr liegt, so kann man 
einen zweiten Punkt derartig bestimmen, dafs alle Punkte der 
Ebenen von den beiden ihr nicht angehörenden Punkten gleichen 
Abstand haben.