Der mehrdimensionale Raum. 
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Die durch die Gleichungen (4) und (5) definierten Trans 
formationen haben die Eigenschaft, dafs die Verbindung zweier 
beliebiger unter ihnen wieder eine Transformation liefert, deren 
Koeffizienten denselben Bedingungen genügen. Da man aber 
durch eine solche Transformation die Form x 4 —p bis auf 
einen konstanten Faktor in die Form y, und diese in die neue 
Form Ubi Zi — q umwandeln kann, so läfst sich jede Ebene durch 
eine den Gleichungen (4), (5) genügende Transformation in jede 
andere überführen. Hierbei kann man offenbar die Determinante 
noch positiv wählen; man erhält also den Satz: 
Zwei beliebige Ebenen sind kongruent. 
Will man wissen, bei welchen Transformationen eine Ebene 
noch in sich verbleibt, so ist es gleichgültig, welche Ebene der 
Untersuchung zu Grunde gelegt wird. Indem man aber speziell 
die Ebene x n = 0 wählt und nach den Transformationen fragt, 
bei denen y n = x n ist, hat man a nn =l, a 1>n =... = a n _ 5) n — 
a n , i = • • • = <V n—i = 0 zu setzen. Hiernach werden die zwischen 
den übrigen Koeffizienten bestehenden Relationen erhalten, indem 
man in (5) die Summation auf die Marken 1,... n — 1 beschränkt. 
Das sind aber dieselben Beziehungen, welche für einen (n — 1)- 
dimensionalen euklidischen Raum gelten. Wie die Gleichungen 
(4), (5) aus der Forderung (3) erhalten sind, so ziehen sie auch 
wieder die allgemeine Gültigkeit der Gleichung (3) nach sich. 
Wir werden somit zu dem Lehrsätze geführt: 
Jede (n—1)-dimensionale Ebene eines n-dimensionalen 
euklidischen Raumes hat, für sich betrachtet, die Eigenschaften 
eines euklidischen Raumes von n — 1 Dimensionen. 
Wenn zwischen den Koeffizienten in den beiden Gleichungen: 
(7) Xi = p, -2b t Xi = q 
die n —j— 1 Beziehungen bestehen: b x = (»aj ... b n = (»a n , q = pp, 
so stellen die Gleichungen offenbar dieselbe Ebene dar. Sind 
aber nur die n ersten Relationen erfüllt, sind mit andern Worten 
die n Quotienten bi: a t einander gleich, ohne dafs der Quotient 
q:p denselben Wert hat, so stellen die Gleichungen zwei ver 
schiedene Ebenen dar, welche keinen Punkt gemeinschaftlich 
haben und deshalb parallel heifsen. Sobald aber die ersten n Be 
ziehungen nicht sämtlich bestehen, kann man n — 2 Koordinaten 
noch willkürlich wählen und die beiden übrigen so bestimmen, 
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