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Dritter Abschnitt. § 8. 
Nun liegt der Punkt x' in der Ebene I; daher ist: 
JiCy. x x ' = r oder M = 2’cz gx — r. 
Hiernach hat der Fufspunkt der Senkrechten die Koordinaten: 
(11) X £ ' = gi -j- Cir— Ci 2"Cx£* = si— Mc £ . 
x 
Das Quadrat der Entfernung der Punkte g und x' beträgt: 
IX X 
Die Entfernung selbst ist also gleich der Gröfse M: 
(12) M = 2cxgx —r 
und wird erhalten, wenn man die Gleichung der Ebene I in der 
Normalform 
2Vx-r=0 
voraussetzt. Wir unterscheiden demnach eine positive und nega 
tive Seite der Ebene, je nachdem die Gröfse M bei den getrof 
fenen Festsetzungen einen positiven oder negativen Wert erhält. 
Hiernach läfst sich mit Herrn von Lilienthal auch angeben, was 
man unter dem positiven und negativen Teile einer durch einen 
Punkt geteilten Geraden zu verstehen habe. 
Ein beliebiger Punkt der Ebene I möge die Koordinaten 
Xi, x 2 ,.. x n haben. Wir führen neue Gröfsen y] .. .y n ein durch 
die Bestimmung: 
Xi = x t — Ji = gt — Mci -{- yi , 
wo die Bedingung bestehen mufs: 
AW jt — 0. 
Haben die Punkte x und g die Entfernung D, so ist: 
D 2 = — Xi) 2 = M — y i) 2 = M 2 + ^y i 2 . 
Hier ist D 2 ^> M 2 , wenn nicht alle Gröfsen y £ verschwinden. 
Somit ist M der kleinste Wert, den D für die Punkte der Ebene 
erreichen kann. Indem wir diesen kleinsten Wert als Abstand 
des Punktes g von der Ebene I definieren, führt die vorstehende 
Gleichung zu folgenden Ergebnissen: 
»Die kürzeste Entfernung, die ein fester Punkt von den 
Punkten einer (n — 1)-dimensionalen Ebene hat, ist die Länge 
der auf die Ebene gefällten Senkrechten; alle Punkte der Ebene, 
welche vom Fufspunkt der Senkrechten gleichen Abstand haben, 
sind auch von dem gegebenen Punkte selbst gleich weit entfernt. 
Für diese Entfernungen gilt der Pythagoreische Lehrsatz.«