Der mehrdimensionale Raum. 
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»Alle Punkte, die von einer gegebenen (n—^-dimensio 
nalen Ebene gleichen Abstand haben, liegen in zwei zu ihr paral 
lelen Ebenen.« 
Die (n—1) - dimensionale Kugel definieren wir als den Ort 
aller Punkte, die von einem festen Punkte gleiche Entfernung 
haben. Allgemein setzen wir fest, dafs die Punkte einer m-dimen- 
sionalen Kugel in einer (m ff- 1) - dimensionalen Ebene liegen 
und von einem Punkte dieser Ebene gleichweit entfernt sein 
sollen. Dann lesen wir aus der obigen Gleichung noch folgende 
Sätze ab: 
»Eine Ebene schneidet eine Kugel oder berührt sie oder liegt 
ganz aufserhalb derselben, jenachdem der Abstand der Ebene vom 
Mittelpunkte kleiner, ebenso grofs oder gröfser ist als der Radius.« 
»Zwei (n — 1) - dimensionale Kugeln, für welche die Ent 
fernung der Mittelpunkte kleiner ist als die Summe, aber gröfser 
als die Differenz der Radien, haben eine (n—2) - dimensionale 
Kugel gemeinschaftlich,« 
Die Gesamtheit der Wertsysteme, die der Gleichung genügen; 
(13) 2Ai X xi x x ff- 2 ATfirx* ff- C = 0, 
IX 
bezeichnen wir als ein (n — 1)-dimensionales Gebilde zweiter 
Ordnung oder auch als ein quadratisches Gebilde von n — 1 
Dimensionen. 
Die linke Seite der Gleichung (13) ändern wir durch eine 
Transformation (4), (5), bei der der Anfangspunkt [also der 
Punkt (0,0... 0)] ungeändert bleibt. Wenn die neue Form der 
Gleichung ist; 
AAix y l yx ff- 2 AB^y* —J— C = 0, 
so können wir erreichen, dafs alle Koeffizienten verschwinden, 
iür welche die Marken i und x ungleich sind. Denn die Koeffi 
zienten Aix hangen nur von den Transformations - Koeffizienten 
und den Aix, nicht aber von den B* und C ab; bei der ange 
gebenen Transformation geht aber die Form Xt 2 ff- x 2 2 ff- ... 
+ x n 2 über in yi 2 -ff y 2 2 ff- ... ff- y n 2 . Nun läfst die Aufgabe, 
die beiden quadratischen Formen: 
AA/*Xi x n und Axt 2 
als Summe derselben n Quadrate darzustellen, nach einem be 
kannten Satze des Herrn Weierstrais (Berliner Berichte 1858)