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Dritter Abschnitt. § 8. 
Dadurch nimmt 
die Gleichung des Ge- 
eine reelle Lösung zu. 
bildes die Gestalt an: 
(14) ^A*> 2 + 2^B*>+C = 0. 
Wenn keiner der Koeffizienten A*' verschwindet, so ersetze 
B 
man y* -f- -.-~r durch z* für jede Marke x; dadurch wird die 
A* 
Form erhalten: 
(15) JSA*'z** + C' = 0. 
Wenn aber in (14) einer der Koeffizienten A*', etwa A n 
verschwindet, die übrigen aber von null verschieden sind, so er- 
g' 
setze man y* -j- - durch z* für x = 1... n — 1, und für einen 
A*r 
von null verschiedenen Wert von B n schreibe man z n für y n 
C' 
+ r»~; j etzt stellt sich die Gleichung in der Form dar: 
(16) AiZi 2 -j- A9Z2 2 -f- ... -(-AnZ,,—! 2 2B n z„ =0. 
Sollten A n ' und B n ' beide verschwinden, so würden wir ein 
Cylindergebilde erhalten, das etwa in folgender Weise definiert 
werden kann: In einer (n — 1) - dimensionalen Ebene konstruiere 
man ein quadratisches Gebilde und errichte in jedem seiner Punkte 
die Senkrechte auf der Ebene; die Gesamtheit aller so erhaltenen 
Senkrechten liefert ein Cylindergebilde. Alle Cylinder- und Kegel 
gebilde sollen hier ausgeschieden sein. Dann müssen wir auch 
den Fall ausschliefsen, dafs in der Gleichung (14) mehr als ein 
Koeffizient A*' verschwindet, weil wir sonst mit weniger Varia 
bein auskomm en. 
Indem wir also von den Kegel- und Cylindergebilden ab- 
sehen, können wir der Einteilung der quadratischen Gebilde die 
Formen (15) und (16) zu Grunde legen und bezeichnen die 
ersteren aus einem naheliegenden Grunde als Mittelpunkts-Gebilde, 
die letzteren als parabolische. Beide werden nach der Zahl der 
positiven und negativen Quadrate eingeteilt. Die Mittelpunkts 
gebilde zerfallen in folgende n -j- 1 Arten: 
1. 
*-*+ *-* + .. 
‘ti 2 ‘ a 2 2 ' 
4—4-1=0, das imaginäre Gebilde, 
an - 
4_ x ” 
a t - a 2 2 ‘ a„ 
-1=0, das Ellipsoid,