Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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solchen Linie 
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also jedenfalls 
on Euklid ein 
tragen. Mit demselben Rechte könnte man annehmen, das Axiom 
Euklids: Der Teil ist stets kleiner als das Ganze, mufs allgemein 
richtig sein. Dies Axiom gilt aber selbst bei Euklid nicht allgemein. 
Um das zu erkennen, lasse man in einer Geraden die Punkte 
A, B, C der Reihe nach auf einander folgen; durch A sei ein 
beliebiger Strahl AD und durch B sei BE gleichgerichtet mit AD 
gezogen; dann sind die Winkel DAG und EBC gleich, obgleich 
der letztere nur einen Teil des ersteren bildet. Wenn man nun 
auch wohl sagen kann, der Unterschied beider Gröfsen, nämlich 
der Streifen DABE müsse im Vergleich zu den beiden Winkel 
feldern als null bezeichnet werden, so zeigt sich hieran schon, 
dais für unendliche Gebilde ganz andere Gesetze gelten, als für 
allseitig begrenzte. 
In der That, wollte man die Erwägungen, aus denen die 
gemachte Voraussetzung hervorgegangen ist, auf die Analysis an 
wenden, so würde man zu grofsen Irrtümern geführt werden. 
Darauf brauchen wir aber hier nicht einzugehen. Nimmt man 
nämlich auch den obigen Satz für die Ebene als richtig an, so 
giebt es jedenfalls Flächen, für welche er nicht mehr richtig ist. 
Auf diese Flächen werden wir im § (j eingehen und dann zeigen, 
dafs es gar nicht gestattet ist, die fragliche Eigenschaft für un 
endliche Gröfsen allgemein als richtig vorauszusetzen. 2 ) 
en Gröfse ent- 
itig annehmen, 
t nur eine ein- 
. werden kann, 
zwei verschie- 
nde Gerade AB 
gezogenen Ge- 
dafs für einen 
el AGB inner- 
wei Rechte. 
Der Satz gilt 
; aber man darf 
Gröfsen über- 
Die Richtung der Geraden. 
Wir gehen dazu über, ein Beweisverfahren zu prüfen, welches 
den Versuch macht, die Parallelentheorie auf den Begriff der 
Richtung zu gründen. Man sagt etwa: Eine gerade Linie ist 
bestimmt durch den Anfangspunkt und die Richtung; zwei gerade 
Linien, welche dieselbe Richtung, aber verschiedenen Anfangspunkt 
haben, heifsen parallel; der Winkel mifst den Richtungsunterschied 
zweier Geraden; folglich sind die beiden Winkel gleich, welche 
zwei Parallele mit derselben geraden Linie bilden. 
Dieser Gedanke dürfte von Leibnitz herrühren, der ihn meines 
Wissens zuerst in seinen Studien über die Grundlagen der Geo 
metrie entwickelt. Jedoch ist dies Verfahren mangelhafter als das 
von Euklid eingeschlagene, da man hier die Schwierigkeit ver 
schleiert, während sie von Euklid offen ausgesprochen wird.