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Dritter Abschnitt. § 8. 
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ist. Wir betrachten zunächst die Änderungen, welche die linke 
Seite von (17), die kurz mit L bezeichnet werden möge, für 
feste Werte von a< ...a n , x t . .. x n erleidet, wenn man X alle 
reellen Werte durchlaufen läfst. Für Ä = -f-00 wird L = 0; 
läfst man X abnehmen, so wird L zunächst positiv, da die Zähler 
stets und die Nenner für einen hinlänglich grofsen Wert von X 
positiv sind. Der gröfste Wert, für weichen ein Nenner null 
ist, ist X — — ai, so dafs hierfür L unendlich grofs wird. Somit 
liegt eine Wurzel der Gleichung (17) zwischen -f- QO und —aj. 
Bleibt X in der Nähe von — aj., ist es aber kleiner, so überwiegt 
der negative Wert von —1—v 
ai + X 
also erhält L sehr grofse negative 
Werte, während es für die Annäherung an —a 2 , wofern es nur 
gröfser bleibt als —a 2 , beliebig grofse positive Werte erhält; 
demnach liegt eine zweite Wurzel X 2 zwischen —ax und —a 2 . 
Eine dritte Wurzel X 3 liegt ebenso zwischen —a 2 und —a 3 
u. s. w., eine nH zwischen — a n _x und — a n . Mehr als n Wurzeln 
kann aber die Gleichung (17) nicht besitzen, da sie vom nH? 
Grade ist. Demnach erhalten wir die identischen Gleichungen: 
(19) a x <fa 2 << a 3 <f . .. < a n und X x > X 2 ^>X 3 ...^>X n 
zugleich ist: 
(20) X x <> — ax <>X 2 <> — a 2 ^>X 3 — a 3 ...< — a n —x<>X n ^> a n . 
Subtrahiert man noch irgend zwei verschiedene der Gleichungen 
(18) von einander, so erhält man für ungleiche Marken i und k: 
= 0. 
^ (ai-räi)(ax-j-'/k) - ^ _ (a 2 -f-^i)(a 2 -Fytk) (a n -f-^i)(a n -(-^k ) 
Jede der Gleichungen (18) stellt bei fester Wahl der Gröfsen 
X 1 ...X n , die nur den Gleichungen (20) genügen müssen, und 
bei veränderlichen Werten von xx .-. .x n ein Mittelpunkts-Gebilde