Der mehrdimensionale Raum. 
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dar. Da die n so erhaltenen Gebilde verschiedenen Arten ange 
hören, so ergiebt sich der Satz: 
Durch jeden Punkt des Raumes gehen n konfokale Gebilde 
zweiter Ordnung, und diese sind sämtlich von verschiedener Art. 
Umgekehrt schneiden sich n konfokale Gebilde, wenn sie n ver 
schiedenen Arten angehören, in 2 n gegen die Axen symmetrisch 
gelegenen Punkten. 
Indem man noch die Gleichung für die Tangentialebene 
eines Gebildes zweiter Ordnung entwickelt und als Winkel, den 
zwei krumme Gebilde in einem ihrer Schnittpunkte mit einander 
bilden, den von den Tangentialebenen eingeschlossenen Winkel 
festsetzt, folgt aus den Gleichungen (18)—(21) der Satz: 
Zwei konfokale Gebilde derselben Art haben keinen Punkt 
gemeinschaftlich; dagegen schneiden sich zwei Gebilde verschie 
dener Art in einem (n — 2) - fach ausgedehnten Gebilde und 
stehen in jedem Punkte des Schnittes auf einander senkrecht. 
§ 9. 
Analytische Erweiterung der nicht-euklidischen Geometrieen. 
Wir wollen jetzt für eine beliebige Zahl n von Dimensionen 
eine analytische Theorie aufbauen, deren Resultate für n — 2 und 
n = 3 mit den Entwicklungen der §§ 9—21 des ersten Abschnittes 
übereinstimmen. 34 ) 
Zu dem Ende wählen wdr n -\~ 1 Variabele x 0 , xj . . .x n und 
setzen zwischen ihnen die Beziehung fest: 
(1) k*xo 2 + xO+... + x n s = k 2 . 
Dabei wollen wir für ein negatives k 2 von dem Werte 
x 0 = 1, x x —... = x n — 0 ausgehen und alle andern daraus stetig 
unter fortwährender Gültigkeit der Gleichung (1) herleiten. 
Indem wir wieder jedes Wertsystem (x,^ .,. x n ) einen Punkt 
nennen, definieren wir den Abstand e zweier Punkte x und x' 
durch die Gleichung: 
(2) k 2 cos = k-x 0 x 0 -(-... -f- x n x n , 
wobei leicht zu übersehen ist, dafs für reelle Werte von x 0 , ... x n 
und x 0 ', Xi'... x n auch e reell ist und nur verschwindet, wenn 
die Punkte identisch werden.