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Dritter Abschnitt. § 10. 
entweder a) imaginär, oder b) reell ohne gerade Linien, oder c) 
reell mit geraden Linien, aber ohne zweidimensionale Ebenen u. s. w. 
Damit sind aber alle allgemeinen Arten erschöpft. Man kann 
nur noch die speziellen Gebilde hervorheben, in deren Gleichungen 
(15) sich unter den Koeffizienten —, b l5 . . . b„ gleiche (oder 
auch Gruppen von gleichen) befinden. 
Für ein negatives k 2 werden einige der hier skizzierten Unter 
suchungen etwas schwieriger. Die Ebene hat wieder die Gleichung 
(4), aber wenn nicht zwischen den Koeffizienten die Beziehung 
besteht; 
^ +V + --- + a„>>0, 
so wird ihre Gleichung durch kein Wertsystem befriedigt, welches 
der Gleichung (1) genügt. Sollen zwei Ebenen einander schneiden, 
so mufs sein 
— 1 <f ■ °^ 2 ° -f- a i +••■• + a na n <C + 1; 
aber wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, so erhalten wir 
weitere Beziehungen zwischen den beiden Ebenen. Hierauf können 
wir jedoch an dieser Stelle nur kurz verweisen; ebensowenig kann 
es unsere Aufgabe sein, die Theorie der quadratischen Gebilde 
für ein negatives k 2 zu entwickeln und die sämtlichen Arten der 
selben aufzuzählen. 
§ 10. 
Der allgemeine Ausdruck für das Linienelement. 
Nach den beiden letzten Paragraphen erscheint die analytische 
Behandlung des Raumes als Spezialfall einer Untersuchung über 
die aus n Variabein zu bildenden Wertsysteme. Nun soll aber 
das einzelne Wertsystem nicht für sich allein betrachtet, sondern 
zu den übrigen Wertsystemen in Beziehung gesetzt werden. Nach 
welchen Gesetzen dies zu geschehen hat, kann an dieser Stelle 
nicht ermittelt werden, mufs vielmehr einer späteren Untersuchung 
Vorbehalten bleiben. In § 8 gelang dies in folgender Weise: In 
der Ebene und im Raume ist der Abstand je zweier Punkte von 
einander unveränderlich; ein Punktepaar 0, 1 kann man daher 
nur mit einem andern Punktepaare 2, 3 zur Deckung bringen,