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Dritter Abschnitt. § 10. 
für das Quadrat des Linienelementes um in Aa¿*dyi dy*, wo 
sämtliche Koeffizienten a¿* konstante Werte besitzen. Wenn 
umgekehrt das Quadrat des Linienelements durch eine beständig 
positive quadratische Form mit konstanten Koeffizienten darge 
stellt wird, so läfst sich diese wieder durch lineare Verwandlung 
der Koordinaten als Summe von n Quadraten darstellen. Nun 
übersieht man aber sehr leicht, dafs es auf dasselbe hinauskommt, 
ob man das Quadrat des Linienelementes durch dx x 2 -fi. • • + dx n 2 
oder das Quadrat des Abstandes durch (xi — x r ') 2 + • • • + ( x n— x n ) 2 
dargestellt werden läfst. Wir können demnach die euklidische 
Geometrie auch durch die Voraussetzung charakterisieren, dafs 
das Quadrat des Linienelementes durch eine beständig positive 
quadratische Form mit konstanten Koeffizienten ausgedrückt 
werden soll. 
Man kann aber auch noch einen Schritt weiter gehen und 
die x x , .. x n durch n ganz beliebige, von einander unabhängige 
Funktionen z } ... z n ersetzen. Wählt man beliebig 
Xi = (pi (zj ... z n ) für i = 1 ... n, 
so folgt dxi = ^- 1 — dz*, und demnach erhält man für das Linien- 
x dz* 
element ds die Gleichung: 
ds 2 == JSA**dzidz*, 
wo jetzt die Koeffizienten A,* im allgemeinen nicht mehr Kon 
stante, sondern Funktionen von z x • • • z n sind. Aber dieser Aus 
druck ist allgemeiner als der Ausdruck dx! 2 -f- ... 4- dx n 2 , da es 
im allgemeinen nicht möglich ist, den Ausdruck auf der rechten 
Seite von (1) durch n Quadrate mit den Koeffizienten eins zu 
ersetzen. Das erkennt man in folgender Weise. Man denke 
sich in einer r-dimensionalen Raumform (für r n) ein n-dimen 
sionales Gebilde durch die Gleichungen bestimmt; 
Xi — L (z t ,.. z„) für i — 1... r. 
Sucht man in diesem Gebilde den Ausdruck für das Linien 
element Kdxx 2 -R • • • -f-^Xr 2 , so erscheint er wieder als Quadrat 
wurzel aus einer stets positiven quadratischen Form in den 
Differentialen áz x ... dz n ; aber ein solches Gebilde hat im allge 
meinen nicht diejenigen Eigenschaften, welche einem n-dimen 
sionalen euklidischen Raume zukommen.