Die projektive Geometrie. 
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Wir sind hier, ausgehend von einer ganz speziellen Voraus 
setzung, zu der obigen allgemeinen Form des Linienelementes 
gelangt. Wir müssen uns fragen, ob wir die Berechtigung dieser 
Form durch allgemeine Betrachtungen beweisen können. Diese 
Frage hat Riemann zu beantworten gesucht in einem Vortrage, 
welchen er im Jahre 1854 behufs seiner Habilitation vor der 
philosophischen Fakultät in Göttingen gehalten hat, der aber erst 
nach seinem Tode gedruckt worden ist. In dieser Arbeit ent 
wickelt er zuerst den allgemeinen Begriff einer n-fach ausge- 
gehnten Mannigfaltigkeit auf eine Weise, welche sehr viele Be 
rührungspunkte bietet mit den um zehn Jahre älteren Darlegungen 
Grafsmanns, aber davon vollständig unabhängig und viel allgemeiner 
ist. Eine klare Übersicht über diesen Teil seiner Arbeit würde 
in einem engen Rahmen kaum möglich sein; Riemanns Darlegung 
ist bereits ganz kurz gehalten und wird von ihm selbst als Vor 
arbeit für Beiträge zur Analysis situs bezeichnet. Als wesentliches 
Kennzeichen einer n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit glaubt 
er zu finden, dafs sich die Ortsbestimmung in derselben auf 
n Gröfsenbestimmungen zurückführen läfst. Demnach wird jedes 
Wertsystem xj ...x n , für welches allen Variabein ein konstanter 
Wert beigelegt wird, als Punkt bezeichnet; die Gesamtheit der 
jenigen, für welche die Variabein von einer einzigen Veränder 
lichen abhängig sind, heifst eine Linie, und wenn gesetzt wird: 
xi = (f i (u x ... Up) ... x n = (/ n (uj ... u p ) für p < n, 
wo (fi .. . (f n reelle Funktionen der unbeschränkt veränderlichen 
reellen Gröfsen u t ... u p sind, so möge deren Gesamtheit als ein 
p-dimensionales Gebilde bezeichnet werden. Um auf diese Mannig 
faltigkeit überhaupt Mafs-Verhältnisse anwenden zu können, macht 
Riemann die Annahme, dafs die Länge jeder Linie von ihrer Lage 
unabhängig sei, dafs also jede Linie durch jede andere Linie gemessen 
werden könne. Diese (an sich unzulässige) Annahme wird aber 
keineswegs in voller Allgemeinheit vorausgesetzt, vielmehr be 
schränkt sich Riemann sofort wieder auf solche Linien, wie wir 
sie bereits oben (S. 211) charakterisiert haben. Dann wird das Linien 
element eine homogene Funktion ersten Grades der Gröfsen dx, 
welche ungeändert bleibt, wenn sämtliche Gröfsen dx ihr Zeichen 
ändern, und worin die willkürlichen Konstanten stetige Funk 
tionen der Gröfsen x sind. Ist m irgend eine Paarzahl, so setzt