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Dritter Abschnitt. § 10. 
Dann folgt als Ausdruck für das Krümmungsmafs: 
1 1 A’(/x/ 1 u)fdx i d'xß—J'x t dx,ii)(dx Ä rdx;.— dx* dx;.) 
' k 2 2 —a i ;.a^ (M )(dx i dx i «—dxidx^)(dx^dx;- dx^dx;.)’ 
Dieser Ausdruck heifst das Riemannsche Krümmungsmafs 
des Raumes in dem Punkte (x t ... x n ) für das durch die Rich 
tungen rj i, i, i" bestimmte Flächenelement. 
Die betrachtete Fläche enthält unendlich viele gerade Linien, 
welche sämtlich von einem Punkte ausgehen und deren Richtungs 
konstanten einer linearen Gleichung genügen; sie wird von Herrn 
Schur als geodätische Fläche bezeichnet. Ihre Analogie zu den 
zweidimensionalen Ebenen ist aber dann erst vollständig, wenn 
die Fläche eine zweifach unendliche Schar von geodätischen 
Linien enthält. Statt aber die Aufgabe zu lösen, unter welchen 
Bedingungen diese Forderung für eine einzige Fläche erfüllt ist, 
stellt sich Herr Schur sogleich die Aufgabe, zu erforschen, unter 
welchen Bedingungen alle durch einen festen Punkt gehenden 
geodätischen Flächen doppelt unendlich viele geodätischen Linien 
enthalten. Hierfür findet er als notwendige und hinreichende 
Bedingung, dafs alle durch den Punkt gehenden geodätischen 
Flächen für jeden Punkt des Raumes gleiches Riemannsches 
Krümmungsmafs besitzen. Soll also die gleiche Eigenschaft für 
jeden Punkt des Raumes und somit für alle geodätischen Flächen 
gelten, so mufs das Riemannsche Krümmungsmafs für alle Punkte 
des Raumes und für alle Flächenrichtungen dasselbe sein. Speziell 
ergiebt sich der Satz: 
Wenn in einem Raume das Riemannsche Krümmungsmafs 
in jedem Punkte nach allen Flächenrichtungen konstant ist, so 
ändert es sich auch von Punkt zu Punkt nicht. 
Aus den Gleichungen (3) und (4) folgt für einen konstanten 
Wert von k 2 : 
ds 2 = dr 2 + k 2 sin 2 , ! (d//! 2 -R ... -|- d* /n 2 ), 
k 
und wenn man hier setzt; 
. . r r 
Xi = k sm £ • T n , x 0 = cos ^, 
wo ist: 
k 2 x 0 2 +x 1 2 + ...+x n 2 = k 2 .