Der mehrdimensionale Raum.
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so erhält man
(8) ds 2 =k 2 dx 0 2 + ... + dx n 2 .
Hiervon ausgehend führen aber leichte Integrationen zu der
jenigen Gleichung für den Abstand, von welcher wir im vorigen
Paragraphen ausgegangen sind. Wir sehen also, dafs die in den
vorangehenden Paragraphen gelöste Aufgabe in enger Beziehung
zu den Untersuchungen über das Linienelement steht. Eine
genauere Prüfung müssen wir uns jedoch für eine spätere Stelle
Vorbehalten.
§ 11.
Beweise in geometrischem Gewände.
Wir kehren zu den Untersuchungen des achten Paragraphen
zurück. Dort gingen wir von der Gesamtheit der Wertsysteme
Xi .. . x n aus; die gegenseitige Beziehung der einzelnen Wert
systeme und gewisser Mannigfaltigkeiten untersuchten wir dadurch,
dafs wir das Quadrat des Abstandes durch die Formel — x £ ') 2
definierten und Mannigfaltigkeiten als kongruent bezeichneten
wenn sie durch eine Transformation in einander umgewandelt
werden können, bei welcher der Ausdruck 2(xi — xL) für irgend
zwei Wertsysteme derselben Mannigfaltigkeit ungeändert bleibt.
Daraus leiteten wir Sätze her, welche ganz denen der Geometrie
entsprechen und welche für n = 3 in rein geometrische Sätze
übergehen.
Nachdem wir aber auf analytischem Wege eine Anzahl von
Sätzen hergeleitet haben, können wir diese Sätze allein benutzen,
um weitere Folgerungen daraus zu ziehen; dann nimmt auch die
Beweisführung ganz ein geometrisches Gewand an. Wir erhalten
dadurch einen Wissenszweig, welcher seinem Objekte nach der
Analysis angehört, in seinen Ergebnissen aber und in seinen
Beweisen mit der Geometrie die gröfste Ähnlichkeit zeigt. Um
diesen Zweig recht systematisch aufzubauen, verstehen wir für
m <n unter einer m-dimensionalen Ebene, welche wir der Kürze
wegen mit E m bezeichnen wollen, diejenige Gesamtheit von Wert
systemen, welche in § 8 definiert ist; ebenso soll unter einer
m-dimensionalen Kugel K m die Gesamtheit aller Wertsysteme
(xj ... x„) verstanden werden, welche in einer E m n liegen und
zu einem festen Punkte (a x ... a n ) dieser Ebene in der Beziehung
