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Dritter Abschnitt. § 11. 
Beweis wie bei m). 
p) »Zwei Gerade heifsen parallel, wenn sie derselben E 2 an 
gehören und sich nicht schneiden. Wenn von zwei Parallelen 
die eine in einer E;. liegt, die andere einen Punkt mit E;. gemein 
schaftlich hat, so gehört auch die zweite ganz der E;. an.« 
»Wenn zwei Ebenen E^ und Ev für /n^>v in einer E iM+1 
liegen und keinen Punkt gemeinschaftlich haben, so heifsen sie 
selbst parallel, weil sie von jeder sie schneidenden E 2 in parallelen 
Geraden geschnitten werden.« 
Man nehme auf E ( « zwei Punkte und auf Ey einen Punkt 
ganz beliebig an und lege durch dieselben eine E 2 ; diese schneidet 
jede der gegebenen Ebenen in einer Geraden; die beiden Schnitt 
geraden können keinen Punkt gemeinschaftlich haben, da der 
Schnittpunkt beiden Ebenen angehören müfste. 
q) »Steht von zwei Parallelen die eine auf einer E n _j senk 
recht, so thut es auch die andere; und umgekehrt sind zwei 
Gerade parallel, welche auf derselben E n _i senkrecht stehen.« 
Sind g und h parallel, so lege man eine E 2 hindurch; diese 
schneidet die E n _! in einer Geraden (nach d), welche von h 
getroffen werden mufs. Steht g J_ E n _, und ist A der Fufspunkt 
von g in so möge der Schnitt von h mit E n _i durch B 
bezeichnet werden. Durch B lege man in E n _! n — 1 Gerade 
ki . . . k n _-,, welche keiner E n _ 2 angehören. Zieht man für 
a = 1... n—1 die k«' durch A parallel zu k«, so liegen auch 
die k 1 '...k n _ 1 ' in E n _ x . Da aber <£, (gk ß ') = (hk«) und der 
erstere ein Rechter ist, so steht h auf k x ...kn—!, also auf E n _i 
senkrecht. 
Dafs umgekehrt zwei auf derselben E n _! senkrecht stehende 
Gerade parallel sind, folgt aus m), kann aber auch direkt auf 
folgendem Wege bewiesen werden: Sind g und h zwei gemein 
schaftliche Senkrechte von E n _i, so kann man sicherlich durch 
g und h eine (oder auch mehrere) E 3 legen. Eine solche hat mit 
E n _! eine E 2 gemeinschaftlich, auf welcher g und h senkrecht 
stehen. Dafs diese Linien parallel sind, wird in den Lehrbüchern 
der Stereometrie bewiesen. 
r) Zwei parallele /i- dimensionale Ebenen haben überall den 
selben Abstand.