Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
mdbegriff oder 
in denen diese 
griff angesehen 
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und ungleiche 
'ielfach gründet 
^Unterschiedes, 
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wenn man die 
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und ungleicher 
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> ausgesprochen 
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Achtung) ohne 
§ 4. 
Der Thibautsche Beweis. 
Unter den Versuchen, die Parallelentheorie aus den übrigen 
Axiomen Euklids herzuleiten, gewährt das von Thibaut einge 
schlagene Verfahren dadurch besonderes Interesse, dafs sein Ur 
heber, der mit Gaufs zugleich Professor der Mathematik in Göt 
tingen war, den Versuch zu einer Zeit (1818) veröffentlichte, wo 
Gaufs bereits mehrfach auf das Verfehlte hingewiesen, neue Be 
weise für das elfte Axiom zu suchen, und erklärt hatte, wir seien 
nicht weiter gekommen, als Euklid vor 2000 Jahren bereits ge 
wesen sei. Dieser Thibautsche »Beweis« fand anfangs wenig 
Beachtung; erst später erlangte er teilweise grofse Beliebtheit und 
ist dann in manche Lehrbücher übergegangen. Das Verfahren 
ist folgendes: 
Für ein Dreieck ABC verlängert man AB über B hinaus 
nach D, BC über C nach E und CA über A nach F. Nun läfst 
man zunächst vom Strahl BD den Winkel DBC = x beschreiben; 
dann verschiebt man den Strahl in der Linie BC, bis sein Anfangs 
punkt nach C gelangt, und dreht den Strahl CE, bis er die 
Richtung CA deckt, wobei er den Winkel EGA —y beschreibt; 
endlich verschiebt man den Strahl wieder, bis sein Anfangspunkt 
nach A kommt, und dreht ihn um A, so dafs er den Winkel 
FAB = z beschreibt. Jetzt hat der Strahl eine volle Umdrehung 
gemacht, also einen Winkel von 360° beschrieben, oder es ist 
x 4" y + z= 360°. 
Bezeichnet man aber die Winkel des Dreiecks mit «, ß, y, 
so ist x = 180° —ß, y — 180° —y, z = 180° — u, und demnach 
a -J— ß —J— y = 180°. 
Man kann das Verfahren dadurch abkürzen, dafs man BD 
hinlänglich grofs, nämlich gröfser als AB -f- BC -f- CA annimmt, 
und dann die Verschiebungen jedesmal wegläfst. Bei der Drehung 
um B gelange BD in die Richtung BC und D aufE; dann drehe 
man CE um C, bis es in die Richtung CA und E auf F zu liegen 
kommt; endlich drehe man AE um A, bis F in die Richtung AB 
gelangt. Dadurch hat BD seine ursprüngliche Richtung wieder 
erhalten und ist nur in seiner Richtung verschoben.