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Dritter Abschnitt. § 12. 
dimensionalen Ebene ABP jede Senkrechte, welche von einem 
Punkte der Geraden auf E 3 gefällt wird. Zieht man nämlich 
durch irgend einen Punkt der Geraden die Parallele zu QB, so 
liegt sie in dieser E 2 und steht auf E 3 senkrecht. Die Fufspunkte 
liegen also sämtlich in der Geraden AG. Legen wir nun in E 3 
zu AG durch A die senkrechte E 2 , und ziehen durch A zu QC 
die Parallele, so mufs letztere auch auf E 3 und somit auch auf 
Eo senkrecht stehen; da sie aber in der Ebene APC liegt, so 
enthält diese zwei durch A gehende, auf E 2 senkrechte Gerade; 
somit mufs auch jede durch A gehende Gerade dieser Ebene, 
speziell AP auf E 2 senkrecht stehen. 
Dafs endlich <£ QAC <C QAD ist, wo D beliebig in E 3 
liegt, zeigt man auf die bekannte Weise, indem man AD — AG 
macht und nun berücksichtigt, dafs QA = QA, AG = AD, aber 
QD p> QC ist, somit auch <£ QAD > QAC ist. 
b) »Wenn in einem vierdimensionalen Raume eine E 2 und 
eine E 3 liegen, so sind zwei Fälle möglich: entweder haben sie 
keinen Punkt gemeinschaftlich oder sie schneiden sich in einer 
geraden Linie. Im ersten Falle werden sie durch jede zwei 
dimensionale Ebene, welche beide schneidet, in zwei parallelen 
Geraden geschnitten, und sie heifsen deshalb selbst parallel; dann 
ist jede in E 2 gelegene Gerade zu E 3 parallel; alle Punkte der 
einen Ebene haben von der andern gleichen Abstand.« 
»Wenn die Ebenen sich schneiden, so wähle man in der 
Schnittlinie g einen Punkt A, und errichte in ihm eine Senkrechte 
h auf g, welche in E 2 liegt, und eine senkrechte zweidimensionale 
Ebene F 2 , welche in E 3 liegt; dann ist der Neigungswinkel von 
h zu F 2 konstant, welchen Punkt man auch auf g gewählt hat. 
Wenn speziell h aufF 2 senkrecht steht, so liegt jede von einem 
Punkte der E 2 auf E 3 gefällte Senkrechte ganz in E 2 .« 
Wir beweisen zunächst, dafs die beiden Ebenen E 2 und E 3 
eine gerade Linie gemeinschaftlich haben, sobald sie in einem 
Punkte Zusammentreffen. Zu dem Ende ziehen wir in E 2 durch 
A zwei Gerade AP und AQ; die Halbgeraden AP und AQ mögen 
auf derselben Seite von E 3 liegen (also in einem der beiden 
Raumteile liegen, in welche der Raum durch E 3 zerlegt wird); 
dann müssen die Verlängerungen AP' und AQ' beide auf der 
andern Seite von E 3 liegen. Zieht man die Gerade PQ, so macht