Der mehrdimensionale Raum. 
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man auf derselben einen Übergang von der einen zur andern 
Seite, trifft also die E 3 . Die Gerade PQ' liegt aber ganz in E 2 ; 
folglich haben E 2 und E 3 noch einen Punkt und damit eine Gerade 
gemeinschaftlich. 
Wenn E 2 1| E 3 ist, so kann keine in E 2 gelegene Gerade 
die E 3 schneiden; jede Gerade, die in E 2 liegt, ist also zu E 3 
parallel. Sind A und B zwei Punkte von E 2 , C und D die Fufs- 
punkte der von ihnen auf E 3 gefällten Senkrechten, so sind die 
Geraden AG und BD nach a) parallel; ebenso sind die Geraden 
AB und CD parallel, da sie erstens wegen des Parallelismus von 
£ 2 und E 3 keinen Punkt gemeinschaftlich haben, zweitens in der 
zweidimensionalen Ebene ABCD liegen; folglich ist AC=BD. 
Wenn aber E 2 und E 3 die Schnittlinie g haben, so möge 
A ein Punkt von g sein; h stehe in A auf g senkrecht und liege 
in E 2 ; F 2 stehe in A auf g senkrecht und liege in E 3 . Ein 
zweiter Punkt von g sei A'; indem man die entsprechende Kon 
struktion macht, erhält man die Gerade h' und die Ebene F 2 '. 
Dann ist h' zu h undF 2 ' zu F 2 parallel. Aufh und h' schneide 
man die gleichen Strecken AB und AB' ab; dann ist BB' zu g 
und somit zu E 3 parallel. Fällt man von B und B' die Senk 
rechten BC und ß'C auf E 3 , so sind dieselben gleich grofs. Da 
aber BA auf g und F 2 auf g in demselben Punkte senkrecht 
stehen, so fällt C in F 2 und ebenso C' in F 2 ' hinein. Somit 
giebt <T CAB = C'A'B' die Neigung von h zu F 2 , resp. von h' 
zu F 2 ' an. Diese Betrachtung ändert sich nicht, wenn C mit A 
und zugleich (wegen des Parallelismus) C' mit A' zusammenfällt. 
Die gegenseitige Lage einer E 2 und einer E 3 in einem 
vierdimensionalen Raume wird im allgemeinen durch einen Winkel 
und im Falle des Parallelismus durch eine gerade Strecke bestimmt. 
c) »Zwei dreidimensionale Ebenen haben entweder keinen 
Punkt oder eine zweidimensionale Ebene gemeinschaftlich. Im 
ersten Falle heifsen die Ebenen parallel; sie werden dann von 
jeder zweidimensionalen Ebene, welche nicht zu beiden parallel 
ist, in parallelen Geraden geschnitten; jede E 2 und jede Gerade, 
welche in der einen der gegebenen Ebenen liegt, ist zu der 
andern parallel; die Ebenen haben überall gleichen Abstand und 
jede Gerade, welche auf der einen von ihnen senkrecht steht, 
schneidet auch die andere unter einem rechten Winkel.« 
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