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Dritter Abschnitt. § 12. 
C 3 und A 3 in bj>, A 3 und B 3 in c 2 . Dann liegen a 2 und b 2 in 
C 3 ; sie haben deshalb entweder eine Gerade g gemeinschaftlich 
oder sind parallel. Im ersten Falle gehört g auch A 3 und 
B 3 , also auch ihrem Schnittgebilde c 2 an. Im zweiten Falle 
können auch a 2 und c 2 keinen Punkt gemeinschaftlich haben; 
sobald sie das hätten, müfsten sie sich in einer Geraden schneiden, 
und diese müfste, wie schon bewiesen, auch b 2 angehören, was 
ausgeschlossen ist; demnach sind a 2 und c 2 , und ebenso b 2 und c 2 
einander parallel. 
Im ersten Falle, wo a 2 , b 2 , c 2 eine Gerade g gemeinschaftlich 
haben, wird jede dieser zweidimensionalen Ebenen durch g in 
zwei Halbebenen a 2 ' und a 2 , b 2 und b 2 ", c 2 und c 2 ' zerlegt. 
Nehmen wir etwa a 2 ', b 2 ', c 2 ' heraus und betrachten denjenigen 
Teil A 3 von A 3 , welcher durch b 2 ' und c 2 begrenzt wird, und 
begrenzen in entsprechender Weise Teile B 3 und C 3 von B 3 und 
C 3 , so bilden A 3 , B 3 , C 3 eine dreifach ausgedehnte stetige Mannig 
faltigkeit, durch welche ein gewisser, sich ins Unendliche er 
streckender Teil des Raumes gegen den übrigen Raum abgegrenzt 
wird. Solcher Gebilde giebt es offenbar acht. Messen wir die 
Gröfse von A 3 in Winkelmafs und setzen sie gleich a, und führen 
wir entsprechend die Gröfsen b und c ein, bezeichnen wir ferner 
die Neigung von B 3 und C 3 zu einander durch « u. s. w., so 
folgen die Gleichungen; 
sin a sin b ein c 
sin « sin ß sin y’ 
cos a = cos b cos c -ff sin b sin c cos «, 
die man etwa dadurch beweisen kann, dafs man die Figur durch 
eine auf g senkrecht stehende dreidimensionale Ebene schneidet. 
Auch ist 
sin b sin c sin « = sin c sin a sin ß = sin a sin b sin y 
und jedes dieser Produkte kann als der Sinus des aus den drei 
Ebenen gebildeten Winkels bezeichnet werden. 
f) «Wenn vier dreidimensionale Ebenen je zu dreien sich 
in einer Geraden treffen, so sind diese vier geraden Linien ent 
weder zu je zweien parallel oder sie gehen durch denselben 
Punkt. Im zweiten Falle möge die Figur ein vierdimensionaler 
Winkel mit Spitze genannt werden. Bezeichnet man alsdann die