Der mehrdimensionale Raum. 
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vier Kanten mit 1, 2, 3, 4 und wählt man irgend eine Permu 
tation i, x, X, ¡i dieser vier Zahlen, so möge der Winkel zweier 
Kanten mit (*, x), der Winkel, den zwei in einer Kante zu- 
sammenstofsende zweidimensionale Ebenen mit einander bilden, 
durch (zx, iX) und endlich der Winkel, welchen zwei unter den 
gegebenen dreidimensionalen Ebenen einschliefsen, mit (ixX, ix/n) 
bezeichnet werden. Dann ist das Produkt: 
sin (g x) sin (/, /) sin (g a) sin (ix, iX) sin (ix, i;x) sin (ixX, ix [ a) 
von der gewählten Permutation unabhängig und möge als der 
Sinus des vierdimensionalen Winkels bezeichnet werden.« 
Wenn zwei Kanten einander treffen, so gehört der Schnitt 
punkt allen vier Ebenen, also auch der Schnittlinie von je drei 
Ebenen, d. h. den vier Kanten an. Hieraus folgt, dafs entweder 
alle vier Kanten durch denselben Punkt gehen oder keine zwei 
einander treffen. Da zudem im letzteren Falle je zwei Kanten 
in derselben zweidimensionalen Ebene liegen, so sind sie parallel. 
Um jetzt die Unabhängigkeit der obigen Formel von den 
vier gewählten Marken nachzuweisen, beachten wir, dafs nach 
dem Schlufsergebnis von e) das Produkt 
sin (ix, iX) sin (ix, ifi) sin (ixX, ix;i) 
sich nicht ändert, wenn man für x, /, ,« irgend eine andere Per 
mutation der drei von i verschiedenen Zahlen setzt. Demnach 
genügt es nachzuweisen, dafs 
Sin (/, x) sin (/, X) sin (/, fl) sin (iX, lX) sin (/X, Ifl) sin (ixX, IXfl) 
— sin (x, /) sin (x, /) sin (x, fl) sin (xi, xX) sin (xf, Xfl) sin (xii, XIfl) 
ist. Da aber die Kanten i, x, X in derselben dreidimensionalen 
Ebene liegen, so ist: 
sin (/, X) sin (<x, d) — sin (x, X) sin (x/, xX). 
Aus demselben Grunde ist: 
sin (/, fi) sin (ix, ifi) == sin (x, t a) sin (xi, Xfl). 
Hierdurch ist die Richtigkeit der vorgelegten Formel erwiesen. 
g) »Zwei zweidimensionale Ebenen, welche nicht derselben 
E 3 angehören, haben höchstens einen Punkt A gemeinschaftlich. 
Dann können einmal die sämtlichen durch A gelegten Geraden 
der einen Ebene auf denen der andern senkrecht stehen; dieser 
Fall tritt ein, wenn zwei solche Gerade der einen auf zwei durch 
A gehenden Geraden der andern senkrecht stehen; in diesem 
balle mögen die Ebenen als zu einander normal bezeichnet werden.«