Der mehrdimensionale Raum. 
235 
»Ist wieder in einer E 3 ein Polyeder n gegeben und lassen 
wir von einem Punkte Q desselben eine Strecke QR ausgehen, 
welche nicht in E 3 liegt, so bestimmt die Gesamtheit aller, von 
den Punkten Q des Polyeders ausgehenden mit QR gleichen 
und gleichgerichteten Strecken ein allseitig begrenztes Gebiet, das 
vierdimensionale Prisma.« 
»Prismen von gleichem Grundgebilde und von gleicher Höhe 
sind gleich.« 
»Pyramiden von gleichem Grundgebilde und von gleicher 
Höhe sind gleich.« 
»Jede Pyramide ist der vierte Teil eines Prismas, welches 
mit ihr gleiches Grundgebilde und gleiche Höhe hat.« 
»Der 24-fache Rauminhalt einer vierseitigen Pyramide ist 
gleich dem Produkt von vier zusammenstofsenden Kanten in^ den 
Sinus des durch diese Kanten bestimmten vierdimensionalen 
Winkels (mit Spitze).« 
Die Richtigkeit der ersten Behauptungen leuchtet sofort ein. 
Auf solche vierdimensionale Körper kann aber der Begriff der 
Kongruenz, der Gleichheit und endlich auch der der Ähnlichkeit 
übertragen werden. (Von dem letzteren Begriff können wir aber 
absehen.) Dafs vierdimensionale Prismen von gleichem Grund 
gebilde und gleicher Höhe gleichen Rauminhalt besitzen, folgt 
dadurch, dafs man die Grundgebilde entweder in kongruente 
Stücke zerlegt oder unbegrenzt zwischen Paaren kongruenter 
Stücke einschliefst; dann überträgt sich der bekannte Beweis der 
Stereometrie unmittelbar (vergl. Baltzers Elemente II, fünftes Buch 
§ 8, 1—3). Daran schliefsen wir den Nachweis für den Satz: 
Wird eine Pyramide durch eine zum Grundgebilde parallele E 3 
durchschnitten, so verhält sich das Schnittgebilde zum Grund 
gebilde, wie die dritten Potenzen ihrer senkrechten Abstände 
vom Scheitel; beim Beweise hat man nur den Satz zu benutzen, 
dafs ähnliche dreidimensionale Körper sich wie die Kuben homo 
loger Strecken verhalten. 
Um jetzt zu zeigen, dafs Pyramiden von gleichem Grund 
gebilde und gleicher Höhe gleich sind, teile man jede der gleichen 
Höhen in n gleiche Teile und lege durch jeden Teilpunkt die 
zum Grundgebilde parallele E 3 ; dadurch wird der Rauminhalt