Der mehrdimensionale Raum. 
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führt, wie oft er auch wiederholt wird? Indessen soll uns diese 
Frage nicht beschäftigen; wir fragen nur, ob das Grenzgebilde 
n ter Ordnung unteilbar ist, wo n nicht gleich drei angenommen 
wird, sondern irgend eine andere ganze Zahl sein soll. 
Jetzt betrachten wir wieder die Gesamtheit der Wertsysteme, 
die durch n variabele Gröfsen x,, x 2 . .. x n gebildet werden können. 
Ihre Mannigfaltigkeit kann in der verschiedensten Weise so in 
zwei Klassen zerlegt werden, dafs die beiden Klassen eine gegen 
seitige Grenze besitzen. Dadurch gelangt man zum Grenzgebilde 
erster Ordnung, das wieder zerlegt werden kann. Führt man 
diesen Prozefs weiter aus, so wird das Grenzgebilde nhir Ordnung 
ein einzelnes Wertsystem, also unteilbar sein. Man kann sich 
auch von vornherein auf einen stetigen endlichen Bereich be 
schränken; so kann man nur diejenigen Wertsysteme betrachten, 
für welche alle Variabein positiv und kleiner als eins sind; oder 
man setzt fest, dafs für die zu betrachtenden Wertsysteme der 
Wert des Ausdrucks x t 2 -f- x 2 2 -J- ... -j- x n 2 eine gegebene Gröfse 
a 2 nicht übersteigt. Die Wertsysteme eines solchen Bereiches 
teile man in zwei Klassen; dann giebt es Wertsysteme, die je 
nach der getroffenen Festsetzung beiden Klassen zugleich ange 
hören oder von beiden Klassen auszuschliefsen sind; ihre Gesamt 
heit bildet das Grenzgebilde erster Ordnung. Dieses Gebilde kann 
man wieder teilen und dann den Prozefs wiederholen, bis man 
nach n-maliger Teilung zu einzelnen Wertsystemen gelangt. 
Indessen sind die analytischen Mannigfaltigkeiten durchaus 
nicht die einzigen Gebilde, mit denen der angegebene Prozefs 
durchgeführt werden kann; der Raum selbst bietet Beispiele, für 
die die oben angegebene Zahl n sowohl gröfser wie kleiner als 
drei ist. Jede Fläche kann geteilt werden; für sie ist das Grenz 
gebilde erster Ordnung eine Linie, das Grenzgebilde zweiter 
Ordnung unteilbar. Nach Plückers Vorgänge darf man aber irgend 
ein Raumgebilde als Element auffassen; schon sehr früh führte 
er die Ebene und in seinem letzten grofsen Werke die gerade 
Linie als Raumelement ein. Betrachten wir aber die Gesamtheit 
der Geraden des Raumes, so wird erst das Grenzgebilde vierter 
Ordnung unteilbar. Wir betrachten z. B. eine Gerade als der 
einen oder andern Klasse angehörig, je nachdem ihr Abstand von 
einem festen Punkte gröfser oder kleiner ist als eine bestimmte 
Kill in g, Grundlagen der Geometrie. I. 
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