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Dritter Abschnitt. § 14. 
einzuführen und die Verhältnisse der Gröfseu x n , x t .. . x n der 
Untersuchung zu Grunde zu legen. Für eine dreidimensionale 
elliptische Raumform bestimmten wir in I § 21 (S. 71) die Lage 
eines jeden Punktes durch vier Gröfsen p, x, y, z, zwischen 
denen eine gewisse Beziehung festgestellt wurde; hierbei müssen 
wir in der Kleinschen Raumform den beiden Wertsystemen 
(p, x, y, z) und (—p, —x, —y, —z) denselben Punkt zu 
ordnen. Andererseits ist die Lage eines Punktes durch die Ver 
hältnisse der vier Gröfsen p, x, y, z bestimmt; dabei entsprechen 
im Riemannschen Raume jedem System der Verhältnisse zwei 
verschiedene Punkte. 
Hiernach ist es klar, was wir unter dem Raume im allge 
meinsten Sinne zu verstehen haben. Es sei möglich, irgend eine 
Mannigfaltigkeit in zw T ei Teile zu zerlegen, die eine gegenseitige 
Grenze haben; dieser Prozefs lasse sich wiederholen, bis er nach 
n-maliger Ausführung das unteilbare Gebilde, das Element, liefert. 
Für diese Mannigfaltigkeit soll ein Gesetz bestehen, nach welchem 
die einzelnen Elemente auf andere Elemente bezogen werden 
können. Jedes System von Begriffen und Urteilen, das sich auf 
einer solchen Grundlage auf bauen läfst, soll eine Raumform im 
allgemeinen Sinne genannt werden. 
Wenngleich diese Nomenklatur zum mindesten recht geeignet 
ist, Sätze der Analysis bequem auszusprechen, wenn sie sogar 
aus Gründen, die wir später entwickeln werden, geradezu geboten 
erscheint, so ist sie doch nicht frei von Bedenken, da dieselben 
Worte in einem ganz verschiedenen Sinne gebraucht werden. 
Nun ergiebt sich der Sinn, der mit den Worten: Punkt, Grenz 
gebilde u. s. w. verbunden werden soll, unmittelbar, sobald man 
weifs, in welchem Sinne das Wort Raum gebraucht wird. Natürlich 
geht in den meisten Fällen aus dem Zusammenhang deutlich 
hervor, ob man dies Wort seiner wahren Bedeutung nach oder 
in uneigentlichem Sinne benutzt. Wo das nicht der Fall ist, 
wird es gestattet sein, den »Erfahrungsraum« in Gegensatz zu 
einem uneigentlichen Raume zu steilen, ohne dafs durch dies 
Wort über die Theorie des Raumes in philosophischer Hinsicht 
geurteilt werden soll.