Der mehrdimensionale Raum. 
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Die eigentliche Geometrie gebraucht aufser der Teilung noch 
weitere Voraussetzungen, die wir bisher allerdings einer Prüfung 
noch nicht haben unterziehen können, von denen man aber un 
mittelbar ersieht, dafs sie keineswegs aus dem Begriff der Teilung 
hervorgehen. Um daher diejenigen Raumformen zu erhalten, 
welche in den letzten Paragraphen als analytische Mannigfaltig 
keiten behandelt worden sind, müssen wir auch für den n-dimen- 
sionalen Raum besondere Voraussetzungen machen. Natürlich 
kann hier nicht der Ort sein, sie auf ihre geringste Zahl zurück 
zuführen; es genügt zu zeigen, dafs wir bei ihrer Aufstellung 
nicht auf die Analysis angewiesen sind. 
Um z. B. für die projektive Geometrie, wie sie in § 7 ent 
wickelt ist, eine Grundlage zu gewinnen, machen wir folgende 
Annahmen : 
In einem n-dimensionalen Raume giebt es ein System von 
Linien, Flächen, drei- bis (n—l)-dimensionalen Gebilden Ei, E 2 > 
E 3 ... E„_i von folgender Eigenschaft: Durch irgend zwei Punkte 
geht eine und nur eine einzige Linie E x des Systems; durch jede 
Linie E! des Systems und einen ihr nicht angehörenden Punkt 
läfst sich eine einzige Fläche E 2 des Systems legen; dieser Prozefs 
soll fortgesetzt werden können, so dafs durch jedes /(-dimen 
sionale Gebilde E^ des Systems und einen nicht in ihm gelegenen 
Punkt ein einziges (/t-Fl)-fach ausgedehntes Gebilde E l/M+1 des 
Systems geht, wo wir unter u jede Zahl zu verstehen haben, die 
kleiner ist als n—1. Nun werden die Punkte so auf einander 
bezogen, dafs die sämtlichen Systeme von Gebilden ungeändert 
bleiben; es soll also für jedes /t jede E^ wieder in eine E« über 
gehen. Von diesen Voraussetzungen aus kann man, ähnlich wie 
im zweiten Abschnitt für n = 2 und n = 3, jür jedes beliebige n 
diejenigen Koordinaten entwickeln, von denen wir in § 7 aus 
gegangen sind. Man kann aber auch durch Beschränkungen, wie 
sie in II § 11 (S. 157 ff.) angegeben sind, von der Projekt!vität 
zur Metrik gelangen. 
Ein anderes System von Voraussetzungen, das sich in § 8 
durch Rechnung aus einer einfachen analytischen Festsetzung 
ergeben hatte, wurde im Beginn von § 11 aufgestellt. Diese 
Annahmen entsprechen ganz den von Euklid gemachten. Auch 
haben wir hieraus bereits in den §§11 und 13 für eine beliebige