Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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:zen werden, soll 
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rn, dafs uns für 
Zeichnungen nur ganz kleine Flächen zu Gebote stehen; wir 
können aber nicht wissen, was bei hinreichender Vergröfserung 
der Dreiecke eintritt. 5 ) 
§ e. 
Die Geometrie auf den Flächen konstanter negativer 
Krümmung. 
Wir wollen jetzt direkt nachweisen, dafs das fünfte Postulat 
Euklids keine Folgerung aus seinen übrigen Voraussetzungen ist. 
Dieser Nachweis gründet sich auf ein allgemeines Prinzip, das 
auch in andern Fällen benutzt werden kann und das wir 
deshalb hier anführen wollen. Gegeben sei ein System E von 
Begriffen und Urteilen; bei derjenigen Vorstellung, welche wir 
gewöhnlich mit diesem System verbinden, ist eine gewisse Be 
hauptung A nicht nur mit E vereinbar, sondern scheint eine Folge 
der in E vereinigten Urteile zu sein. Jetzt ändern wir die mit 
E verbundene Vorstellung, natürlich so, dafs auch für die neue 
Vorstellung die in E enthaltenen Urteile gelten; bei dieser neuen 
Vorstellung möge eine Behauptung B mit E vereinbar sein; wenn 
dann die Behauptungen A und B einander ausschliefsen, so kann 
A keine Folge des Systems E sein. 
Mit den ersten Voraussetzungen Euklids können aufser der 
gewöhnlichen noch manche andere Vorstellungen verbunden 
werden. So lange wir z. B. blofs die Sätze der ebenen Geo 
metrie betrachten, können wir jedem solchen Satze einen andern 
zur Seite stellen, welcher für gewisse andere Flächen gilt. Diese 
neuen Flächen werden dadurch erhalten, dafs man die Ebene 
ohne Dehnung und Zusammenziehung biegt; sie besitzen also die 
Eigenschaft, auf eine Ebene abwickelbar zu sein. Von solchen 
Flächen sind aus dem elementaren Unterricht der Kegel und der 
Gylinder bekannt. Ich möchte aber hier besonders auf diejenige 
Fläche hinweisen, welche entsteht, wenn eine Gerade sich parallel 
zu ihrer Anfangslage längs einer Parabel bewegt. Nun lehrt die 
Mathematik, dafs bei beliebiger Biegung einer Fläche, wofern jede 
Dehnung ausgeschlossen ist, alle Längen und alle Winkel unge- 
ändert bleiben. Ersetzt man also die Ebene durch eine solche 
Fläche und jede in der Ebene gelegene Gerade durch eine auf 
der Fläche gezogene kürzeste Linie, so gelten folgende Sätze: