Der mehrdimensionale Raum. 
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hat, jeden andern Zugang zur mehrdimensionalen Geometrie ent 
behren zu können, so mufs eine solche Ansicht als unrichtig be 
zeichnet werden. Nur so lange es sich um die Teilung und um 
die Erzeugung der Grenzgebilde handelt, genügen die Mannig 
faltigkeiten der bezeichneten Art. Sobald es sich aber um die 
Art und Weise handelt, nach der die Elemente auf einander be 
zogen werden sollen, treten meistens Besonderheiten ein, durch 
welche die weiteren, für den Aufbau unentbehrlichen Voraus 
setzungen wesentlich beeinflufst werden. Nimmt man z. B. die 
.gerade Linie als Raumelement, so gelangen wir allerdings zu 
einer vierfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit; aber durch das ein 
zelne Element ist bereits ein dreidimensionales Gebilde bestimmt, 
nämlich die Gesamtheit aller geraden Linien, die von der gege 
benen Linie geschnitten werden. Will man also die geraden 
Linien des Raumes auf einander beziehen, so muis das in der 
Weise geschehen, dafs auch jedesmal die angegebenen dreidimen 
sionalen Gebilde auf einander bezogen werden. In ähnlicher 
Weise bildet die Gesamtheit der Kreise in der Ebene eine dreifach 
ausgedehnte Mannigfaltigkeit; aber sobald ein Kreis gewählt ist, 
wird durch ihn auch die Gesamtheit der ihn berührenden Kreise, 
also eine zweifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, bestimmt; zudem 
zerfallen die sämtlichen Kreise in zwei Gruppen in der Art, dafs 
die Kreise der einen Gruppe den gegebenen Kreis schneiden, die 
der andern Gruppe keinen Punkt mit ihm gemeinschaftlich haben. 
Solche Besonderheiten werden aber fast regelmäfsig auftreten. 
Aus diesem Grunde scheint es nicht möglich zu sein, den vier 
dimensionalen euklidischen Raum dadurch zu versinnlichen, dafs 
man ein Gebilde des Erfahrungsraumes als Element einer vierfach 
ausgedehnten Mannigfaltigkeit wählt. 
Die Dreizahl der Dimensionen wird durch jede Erfahrung 
bestätigt; es ist deshalb nicht nötig, zum Beweise mit Kant noch 
auf Newtons Gravitationsgesetz hinzuweisen, da, wie Benno Erd 
mann hervorhebt, bei dem Versuche, dies Gesetz als notwendig 
nachzuweisen, die Gültigkeit von Sätzen angenommen werden 
mufs, die nicht unbestreitbar sind. Dagegen kann die Notwendig 
keit dreier Dimensionen nicht aus dem Begriffe einer Teilbarkeit, 
bei der die Teile in Zusammenhang mit einander stehen, her 
geleitet werden. Dies Resultat, das aus den durchgetührten