Der mehrdimensionale Raum. 
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übereinstimmen, ohne kongruent zu sein. Wie grofs man auch 
die Zahl der Dimensionen annehmen mag, niemals wird der 
Begriff der Kongruenz identisch sein mir dem Begriff der Über 
einstimmung in allen Gröfsenbeziehungen; es ist also gar nicht 
gestattet, die Identität der beiden Begriffe zu verlangen. 
Endlich beruft man sich auf Experimente, welche angeblich 
gemacht sind und welche im dreidimensionalen Raume nicht aus 
geführt werden können, während sie in einem Raume von mehr 
Dimensionen ganz einfacher Natur sind. Die erste Aufgabe besteht 
darin, einen Körper aus einem allseitig verschlossenen Raum zu 
entfernen, ohne dafs der Verschlufs aufgehoben wird. Denken 
wir z. B. ein Schrotkorn in eine Hohlkugel eingeschlossen, so 
soll das Korn daraus entfernt werden, ohne dafs eine Öffnung 
in die Kugel gemacht wird. Diese Aufgabe ist im dreidimen 
sionalen Raume nicht löslich; aber die Lösung ist ganz einfach, 
wenn die Kugel einem vierdimensionalen Raume angehört. Denn 
gleichwie die Kreislinie wohl zwei Teile einer Ebene von ein 
ander trennt, aber nicht zwei Raumteile gegen einander abgrenzen 
kann, so ist auch die zweidimensionale Kugelfläche nicht die 
Grenze für Teile eines vierdimensionalen Raumes. Man kann 
aus dem Innern einer Kreisfläche in das Äufsere gelangen, wenn 
man den Weg durch den Raum wählt; ebenso müfste man aus 
dem Innern einer Kugel herauskommen können, wenn der Raum 
vierdimensional wäre. Genau so verhält es sich mit einer zweiten 
Aufgabe: In einem Faden ist ein Knoten angebracht und dann 
sind die Enden fest mit einander verbunden; man soll den Knoten 
lösen, ohne den Faden zu zerreifsen. Könnte man hierbei einem 
Teil des Bandes gestatten, in einen vierdimensionalen Raum hin 
überzugehen, so würde sich bei passender Wahl des Teiles und 
seiner Bewegung die Aufgabe lösen lassen. Nun haben einige 
geglaubt, beide Probleme seien in der That mehrmals gelöst 
worden; deshalb haben sie zur Erklärung die Annahme vorge 
schlagen, der Raum sei vierdimensional. Aber vorläufig ist es 
doch gewifs gestattet, an der Richtigkeit der Angaben zu zweifeln; 
jedenfalls war bei den betreffenden Experimenten ein klarer Ein 
blick in die Vorbereitungen und in den ganzen Verlauf der 
Versuche nicht möglich, und schon aus diesem Grunde darf 
man die Versuche nicht zur Grundlage einer neuen Theorie