12 Erster Abschnitt. § 6. 
Durch zwei Punkte der Fläche geht stets eine einzige kürzeste Wink 
Linie; je zwei kürzeste Linien haben höchstens einen einzigen \| an 
Punkt gemeinschaftlich; durch jeden Punkt der Fläche geht nur Ebene 
eine einzige kürzeste Linie, welche eine gegebene kürzeste Linie betrat 
bei unbegrenzter Verlängerung nicht schneidet; die Winkelsumme er ¿ a: 
in jedem, aus kürzesten Linien gebildeten Dreieck beträgt zwei übertr 
Rechte. summ 
Diese Vorstellung liefert genau dieselben Sätze, welche in als ZN 
der euklidischen Ebene gelten, kann also für den bezeichneten theori 
Zweck nicht benutzt werden. Indessen deutet sie doch den Weg einer 
an, welcher uns zu einer Entscheidung führt. bene 
Alle in die Ebene abwickelbaren Flächen haben die Eigen- längei 
schaft, so in sich verschoben werden zu können, dafs alle Längen Wink 
und alle Winkel ungeändert bleiben. Dazu ist nur notwendig, als zv 
mit jeder Verschiebung eine gewisse Biegung zu verbinden; jedoch nicht 
ist jede Dehnung oder Verkürzung ausgeschlossen. Von Flächen, kleine 
denen diese Eigenschaft zukommt, giebt es drei Klassen, nämlich bildet, 
a) diejenigen, welche sich in die Ebene, b) die, welche sich auf I 
eine Kugel abwickeln lassen, und c) eine dritte Klasse, sattel- werde 
förmige Flächen, welche aus einem hier nicht zu erörternden Herrn 
Grunde als Flächen konstanter negativer Krümmung bezeichnet 
werden. Von den Flächen der dritten Art sollen einige Eigen 
schaften hier mitgeteilt werden. 
Durch je zwei Punkte einer solchen Fläche giebt es eine 
einzige kürzeste Linie. Alle Punkte, deren kürzeste (geodätische) ^ 
Entfernung von einem festen Punkte konstant ist, liegen auf einer a ^ s s ] 
geschlossenen Linie. Bewegt man die Fläche ohne Dehnung so Letzte 
in sich, dafs ein Punkt in Ruhe bleibt, so wird jeder andere Punkt durch 
in einer geschlossenen Linie bewegt, welche wir der Kürze wegen ersetzl 
geradezu als Kreis bezeichnen wollen. Man kann die Fläche auch durch 
derartig in sich bewegen, dafs ein Punkt die Lage eines belie 
bigen andern Punktes erhält. Bei jeder solchen Bewegung behält 
jede kürzeste Linie die in ihrem Namen liegende Eigenschaft bei, AVO x 
jeder Kreis bleibt Kreis mit demselben geodätischen Radius. Mag x > 7 
man den Winkel zweier geodätischen Linien einfach gleich setzen a > 
dem von den betreffenden Tangenten gebildeten Winkel, oder Koeffi 
mag man ihn auf der Fläche selbst durch Vermittlung des Kreises E 
messen, so gelangt man beidemal zu derselben Gröfse. Gleiche darin,