Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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verschieden waren, fallen jetzt zusammen und müssen als identisch 
angesehen werden; die Eigenschaft, dafs durch zwei Punkte eine 
einzige kürzeste Linie geht, bleibt nicht mehr bestehen. Wie 
man also auch das erste Flächenstück gewählt hat, niemals wird 
es möglich sein, ihm an jeder andern Stelle der Fläche ein gleich 
artiges zuzuordnen. Nun hat der Raum folgende Eigenschaft: 
nachdem ein Raumteil abgegrenzt ist, kann man ihn in Beziehung 
setzen zu einem zweiten in der Weise, dafs 1. jedem Punkte des 
einen ein einziger Punkt des andern entspricht, und dafs 2. die 
Entfernung zwischen irgend zwei Punkten im einen Raumteil 
gleich ist der Entfernung der entsprechenden Punkte im andern; 
hierbei kann man noch denjenigen Punkt des Raumes ganz be 
liebig wählen, der einem Punkte des gegebenen Raumteiles ent 
sprechen soll. Diese Eigenschaft liegt allen unsern Untersuchungen 
über den Raum zu Grunde. Soll also eine Fläche als zweidimen 
sionale Raumform bezeichnet werden können, so mufs auch für 
sie ein entsprechender Satz gelten; ein solcher fehlt für die 
Kegelfläche. 
Kongruent im weiteren Sinne wollen wir zwei Flächenstücke 
nennen, welche so auf einander bezogen werden können, dafs 
jedem Punkte des einen ein Punkt des andern entspricht und 
dafs entsprechende Linien , Winkel und Flächen jedesmal gleich 
sind. Wenn wir dann ein Flächenstück zu Grunde legen, so 
mufs es in der Umgebung einer jeden Stelle der Raumform ein 
in diesem Sinne kongruentes geben. Nehmen wir aber ein be 
liebiges Stück eines Kegelmantels, so wird es nie gelingen, ein 
zu ihm im weiteren Sinne kongruentes in jeder Nähe des Scheitels 
zu bestimmen. 
Anders ausgedrückt: ein fester Körper kann an jede Stelle 
des Raumes gebracht werden. Um dies auf eine Fläche zu über 
tragen, denken wir uns ein Stück Papier, dessen Dicke als ver 
schwindend betrachtet werden soll, und verschieben es bei gleich 
zeitiger Biegung auf einem Kegelmantel. Sobald man das Stück 
nahe genug an den Scheitel bringt, mufs ein Teil der Fläche 
gleichzeitig von zwei verschiedenen Teilen des Papiers bedeckt 
werden. Diese Art der Bedeckung mufs aber ausgeschlossen 
werden; denn auch für zweidimensionale Gebilde, die als Raum 
formen betrachtet werden sollen, mufs das Analogon des Satzes