Die Cliftord-Kleinschen Raumformen. 
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Schnittpunkte E zwischen C und D zusammen, wo E auch mit 
B identisch sein kann. Da sich s und s' nicht schneiden, so 
kann man sich von A aus auf s' bis E und dann auf der Geraden 
EB bewegen und gelangt nach B, ohne der Schraubenlinie s zu 
begegnen. 
Zwar wird die Fläche schon dadurch zu einer einfach zu 
sammenhängenden, dafs man sie längs einer Erzeugenden zer 
schneidet. Aber die Übereinstimmung mit der Ebene wird noch 
gröfser, wenn man ein einfach zusammenhängendes Stück abgrenzt, 
in dem nur solche kürzeste Linien Vorkommen, deren Länge 
kleiner ist als der Umfang des Grundkreises. Beschränkt man 
die Betrachtung auf ein solches Stück, so kann man durch zwei 
Punkte desselben nur eine einzige geodätische Linie legen; die 
Winkelsumme in jedem durch kürzeste Linien begrenzten Dreiecke 
beträgt zwei Rechte; kurz, jeder für die euklidische Ebene geltende 
Satz, der nicht bereits durch seinen Ausspruch über ein gewisses 
Gebiet hinausgeht, findet auf einem solchen Stücke der Cylinder- 
fläche sein volles Analogon. 
Ein solches Stück kann aber auch auf der Cylinderfläche alle 
Bewegungen machen, welche den Bewegungen einer Ebene in 
sich entsprechen. Man kann es längs der erzeugenden Geraden 
und längs der Grundkreise verschieben; diese beiden Bewegungen 
und alle durch ihre Verbindung entstehenden (also z. B. die 
Verschiebungen längs irgend einer Schar von parallelen Schrauben 
linien) erfordern keine Biegung. Man kann aber endlich auch 
einen beliebigen Punkt des Stückes in Ruhe halten und das be 
trachtete Stück um den Punkt drehen; dann mufs allerdings mit 
der Drehung eine gewisse Biegung verbunden werden; aber da 
alle Dehnung und Verkürzung ausgeschlossen ist, so bleiben alle 
Längen ungeändert, es behalten die Winkel und Flächen ihre 
Gröfsen bei, und zwei Punkte, welche in der Anfangslage getrennt 
liegen, gelangen auch durch die Bewegung niemals zur Deckung. 
Indem man diese Bewegungen beliebig fortsetzt, kann man das 
anfangs betrachtete Stück an jede Stelle der Fläche bringen, und 
indem man irgend ein kongruentes Stück betrachtet, gelten auch 
hierfür dieselben Sätze, wie in der euklidischen Ebene. 
Wenn wir vor allem auf die starre Bewegung Rücksicht 
nehmen, können wir als besonders charakteristischen Unterschied