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Vierter Abschnitt. § 1. 
zwischen der Ebene und der Cylinderfläche hervorheben, dafs 
jede starre Bewegung eines Teiles einer zweidimensionalen Ebene 
in sich auch für jeden andern Teil eine starre Bewegung eindeutig 
bestimmt, während dies auf dem Cylinder nur für die Parallel 
verschiebung gilt. Speziell kann die Ebene auch als Ganzes bei 
der Ruhe eines Punktes in sich bewegt werden, die Cylinderfläche 
aber nicht. Dieser Unterschied hindert aber nicht, die Cylinder 
fläche auch als Raumform aufzufassen; denn der Raum selbst ist 
unbeweglich, in ihm bewegen sich die Körper, speziell die festen 
Körper. So kann man auch die Cylinderfläche als den Träger 
auffassen, in welchem sich ein zweidimensionaler Körper bewegt. 
Wir wählen etwa ein Stück Papier, von dessen Dicke wir absehen 
und dessen übrige Dimensionen nach keiner Richtung hin eine 
Länge erreichen, die dem Umfang des Grundkreises gleichkommt; 
dies Stück läfst sich auf dem Cylinder nach denselben Gesetzen 
bewegen, nach denen eine Ebene in sich verschoben werden kann. 
Wollen wir von der Bewegung absehen und nur die Zuord 
nung der einzelnen Teile in Betracht ziehen, so können wir 
sagen: An jeder Stelle der Fläche läfst sich ein Gebiet abgrenzen, 
für das die Gesetze der euklidischen Ebene gelten, und an jeder 
andern Stelle giebt es, nachdem das erste Gebiet passend gewählt 
ist, ein zweites, das zu ihm im weiteren Sinne kongruent ist. 
Demnach unterliegt es keinem Bedenken, die Cylinderfläche als 
Raumform aufzufassen. 
Werfen wir jetzt noch einen Blick auf solche Cylinderflächen 
im weiteren Sinne, welche sich selbst durchschneiden. Wir gehen 
etwa von einer ebenen krummen Linie aus, welche einen Doppel 
punkt hat, aber im übrigen beiderseits ins Unendliche verläutt. 
Längs einer solchen Linie lassen wir eine Gerade, welche nicht 
der Ebene der Kurve angehört, parallel mit ihrer Anfangslage 
bewegt werden. Die durch diese Gerade beschriebene Fläche 
hat in ihren Eigenschaften die gröfste Ähnlichkeit mit den an 
erster Stelle betrachteten Flächen; nur die Doppelgerade bedingt 
einen Unterschied. Im allgemeinen wird man nämlich, wenn 
man sich längs einer geodätischen Linie bew T egt, niemals den 
selben Punkt zweimal treffen; nur bei den Punkten der Doppel- 
geraden ist diese Möglichkeit vorhanden. Dadurch nimmt eine 
solche Fläche an den für die dritte Klasse angesehenen Eisen