Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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schäften teil; es unterliegt also keinem Bedenken, auch diese 
Flächen als Raumformen zu betrachten. 
Ähnliches gilt, wenn man etwa eine Lemniskate, überhaupt 
eine geschlossene Linie mit Doppelpunkten, zur Leitlinie einer 
Cylinderfläche wählt. Dann wird man zwar von jedem Punkte 
der Fläche aus längs einer geodätischen Linie in die Anfangslage 
zurückkehren können; aber für jeden Punkt, welcher auf einer 
Doppelgeraden liegt, führt hierbei bereits ein kürzerer Weg in 
die Anfangslage zurück. Indessen bleiben die früheren Ergebnisse 
auch für die neuen Flächen im wesentlichen ungeändert. 
Demnach können wir das Resultat der angestellten Unter 
suchung in die Worte zusammenfassen: 
Unter den auf eine Ebene abwickelbaren Flächen des drei 
dimensionalen euklidischen Raumes können nur die Cylinder- 
flächen, d. h. diejenigen Flächen, deren Erzeugende sämtlich unter 
einander parallel sind, als Raumformen betrachtet werden. Läfst 
man für solche Flächen neben der Verschiebung noch die Biegung 
zu, (d. h. eine Deformation, bei welcher alle Gröfsenbeziehungen 
ungeändert bleiben), so ist es nur möglich, diejenigen unter diesen 
Flächen als Ganze allgemein in sich zu verschieben, deren Leit 
linie eine einfach unendliche ebene Kurve ohne Doppelpunkte ist; 
die übrigen Flächen w r erden nur bei einer Parallel-Verschiebung 
als Ganze in sich verbleiben. 
§ 2- 
Erweiterung der angestellten Betrachtungen. 
Wird die Fläche eines Kreiscylinders auf die Ebene abgerollt, 
so deckt die ganze Oberfläche einen Streifen, der von zwei paral 
lelen Geraden g und g' eingeschlossen wird. Indem wir die 
Abwicklung fortsetzen, zerfällt die ganze Ebene in lauter solche 
Streifen; jeder Punkt der Fläche wird unendlich oft abgebildet. 
So möge der auf der Cylinderfläche gelegene Punkt A in der 
Ebene die Bilder A 0 , A t , A 2 ... und zugleich die Bilder A_ lr 
A_2, A_ 3 ... haben. Alle Punkte Ai liegen auf einer geraden 
Linie und je zw T ei auf einander folgende Punkte Ai und Ai +1 
haben einen konstanten Abstand. Wählt man umgekehrt in einer 
Ebene eine Strecke a und betrachtet zwei Punkte als zusammen 
gehörig, w 7 enn ihre Verbindungslinie der Strecke a parallel läuft