Die Clifford-Kleinschen Raumformen.
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möglich, die Raumform auch als Ganzes bei der Ruhe eines
Punktes in sich zu bewegen. Denn bei einer solchen Drehung
wird die Richtung der Strecke a sich ändern.
Es wird nicht nötig sein, nochmals die weiteren Eigenschaften
dieser Raumform in Anschlufs an die hier zu Grunde gelegte
Abbildung anzuführen, da wir hierauf bereits im vorigen Para
graphen genugsam eingegangen sind. Dagegen wollen wir prüfen,
ob es nicht gestattet ist, auch zwei Punkte als zusammenfallend
zu betrachten, die nach einer zweiten Richtung hin einen festen
Abstand haben.
Wir bezeichnen demnach durch a eine gewisse Strecke ihrer
Länge und Richtung nach und setzen fest, dafs zwei Punkte
zusammenfallen, deren Verbindungsstrecke nach Länge und Rich
tung gleich a ist. Dadurch mögen wir von A aus zu den Punkten
Ai, A 2 ...A_i, A—2 • • • gelangen. Eine zweite Strecke möge
ihrer Gröise und Richtung nach mit b bezeichnet werden. Die
beiden Richtungen a und b mögen den Winkel (f mit einander
bilden. Durch die Festsetzung, dafs auch zwei Punkte zusammen
fallen, welche in der zweiten Richtung um b von einander ent
fernt sind, möge A auch mit A', A".,., A (_1) 5 A (_2) ... identisch
sein. Wenn jetzt AR der vierte Eckpunkt des Parallelogramms
mit drei Ecken AiA 1} A' ist,
so fällt auch A mit AR zu
sammen (Fig. 36). Überhaupt
sei A/A der vierte Eckpunkt
eines Parallelogramms, das
die Punkte A, Au, A» zu
Ecken hat, so fällt auch der
Punkt A u v mit A zusammen.
Auch jetzt kann man in mannigfaltiger Weise ein Gebiet der
Ebene so abgrenzen, dafs es einfachen Zusammenhang besitzt
und keine zusammenfallende Punkte enthält. Ein solches Gebiet
besitzt alle Eigenschaften einer zweidimensionalen euklidischen
Ebene. Wenn zudem alle geraden Linien, welche in diesem
Gebilde gezogen werden können, eine gewisse Länge nicht er
reichen, so kann man das Stück beliebig in der Ebene bewegen,
ohne dafs es zusammenfallende Punkte enthält. Somit stellt die
Ebene auch bei der getroffenen Festsetzung eine Raumform dar.
