Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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a 2 + b 2 = 1. 
Punkte u, v der Ebene ein einziger Punkt (x x .. . x 4 ) auf der 
Fläche. Wird dagegen irgend ein Punkt auf der Fläche ange 
nommen, so kann man stets ein Wertepaar (u, v) für 0 < u 
<f 2a/r, 0<^<C2b;r so bestimmen, dafs die vier Gleichungen 
bestehen. Dann entsprechen demselben Punkte (x x ... x 4 ) der 
Fläche unendlich viele Punkte (u -|- 2f.ia.rr, v-\-2rhTt) der Ebene 
für beliebige ganzzahlige W T erte von /1 und r. Somit kann man 
die Fläche auf ein in der Ebene gelegenes Rechteck mit den 
Seiten 2/ra und 2rrb abbilden. 
Da dxj = — du sin ^ ... ist, so gilt für das Linienelement 
ds auf der Fläche die Beziehung 
ds 2 = dx! 2 + dx 2 2 -\- dx 3 2 -f- dx 4 2 = du 2 -j- du 2 ; 
oder jedes Linienelement der Fläche ist gleich dem entsprechenden 
Linienelement in der Ebene. Bei der bezeichneten Abbildung 
bleiben somit alle Längen (und zugleich alle Winkel und Flächen) 
ihrer Gröfse nach ungeändert. Diese Abbildung wird daher 
vielfach als Abwicklung bezeichnet, obwohl der angegebene Prozefs 
rein analytischer Natur ist. Gehen wir aber vom vierdimensio 
nalen euklidischen Raume aus, so können wir ein zweidimensio 
nales ebenes Rechteck auf eine allseitig geschlossene Fläche 
abwickeln. Da hierbei jeder Punkt (u, i>) identisch mit den 
Punkten (u -f- 2 ( <iaTr, v -j- 2ra7r) ist, so wird durch die angegebene 
Fläche die oben charakterisierte Raumform dargestellt, wenn 
TI 
(f = - ist und a durch 2/ra, b durch 2/rb ersetzt wird. 
£ 
Eine Fläche von der bezeichneten Eigenschaft kann man auch 
in einer dreidimensionalen Riemannschen Raumform konstruieren. 
Wenn nämlich das Riemannsche Krümmungsmafs gleich eins 
gewählt wird, so kann man die Punkte des Raumes durch vier 
Gröfsen X! ... x 4 darstellen, wofern zwischen ihnen die Beziehung 
besteht: 
xi 2 + x 2 2 + x 3 2 -f x 4 2 = 1. 
Wenn man diese Beziehung als erfüllt betrachtet, so mufs 
man annehmen, dafs auch in den Gleichungen (1) die Beziehung 
besteht: