Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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§ 3. 
Der dreidimensionale Raum verschwindender Krümmung. 
Ganz entsprechend den für die zweidimensionalen Raum 
formen getroffenen Festsetzungen nehmen wir jetzt an, jeder 
Punkt des dreidimensionalen euklidischen Raumes sei identisch 
mit demjenigen Punkte, welcher von ihm nach einer festen 
Richtung einen gegebenen Abstand hat. Wir nehmen also an, 
dafs man in einen Punkt A zurückkehrt, wenn man sich von 
ihm aus in einer gewissen Richtung geradlinig um eine gewisse 
Strecke a bewegt, und fragen uns, ob wir unter dieser Voraus 
setzung zu einem innern Widerspruch gelangen oder nicht, und 
ob es vielleicht sogar gestattet ist, für den Erfahrungsraum diese 
Annahme zu machen. Dafs man diese Strecke aufserordentlich 
grofs annehmen mufs, versteht sich von selbst und braucht nicht 
eigens hervorgehoben zu werden. 
Betrachten wir zu dem Ende einen Teil des Raumes, in 
welchem sich nach keiner Richtung eine gerade Strecke von der 
Länge a ziehen läfst. So lange es nicht gestattet ist, über diesen 
Teil hinauszugehen, läfst sich durch je zwei Punkte desselben 
eine einzige gerade Linie, durch eine Gerade und einen aufser- 
halb derselben gelegenen Punkt eine einzige Ebene legen. Eine 
darin gelegene Figur zeigt alle Eigenschaften, welche in der 
euklidischen Geometrie gelten. Aber auch, wenn dieser Teil des 
Raumes einer Transformation unterworfen wird, welche einer 
starren Bewegung entspricht, so wird der neue Raumteil, für sich 
betrachtet, wieder dieselben Fägenschaften zeigen. Denn erst der 
Abstand a führt zusammenfallende Punkte herbei; im vorliegenden 
Falle kommt ein solcher Abstand zwischen irgend zwei Punkten 
des gegebenen Raumteiles nicht vor; da aber die gestatteten 
Transformationen den Abstand irgend zweier Punkte ungeändert 
lassen, so kommt eine Entfernung a auch für die Punkte des 
neuen Raumteiles nicht vor. 
Wir können dies auch in folgender Weise aussprechen. 
Nehmen wir einen festen Körper im Raume an, so müssen wir 
voraussetzen, dafs der Abstand irgend zweier Punkte desselben 
kleiner ist, als die zu Grunde gelegte Strecke a. Dann können 
irgend zwei Punkte dieses Körpers durch eine einzige gerade