Die Clifford-Kleinschen Raumformen.
287
Somit wird in der That durch die gemachte Annahme eine
widerspruchsfreie Raumform definiert. Dieselbe wird auf den
euklidischen Raum durch einen Streifen abgebildet, welcher von
zwei parallelen Ebenen eingeschlossen wird. Jedem Punkte A
der Raumform entsprechen wieder unendlich viele Punkte A 0 ,
A ls A 2 . .. A_j, A—2 • • • des euklidischen Raumes.
Durch zwei Punkte der betrachteten Raumform gehen im
allgemeinen unendlich viele gerade Linien. Sind die Punkte A
und B gegeben, so mögen dem ersten in der euklidischen Ebene
die Punkte Ai, dem zweiten die Punkte B; entsprechen. Die
verschiedenen Geraden, welche durch A und B gezogen werden
können, bilden sich ab durch A 0 Bi für jedes ganzzahlige i. Alle
diese sind verschieden, wenn nicht A 0 B 0 zu der festen Richtung
parallel ist.
Durch drei Punkte gehen im allgemeinen unendlich viele
Ebenen, und zw 7 ar lassen sich zwei Parameter derartig bestimmen,
dafs jedem ganzzahligen Wertsysteme derselben eine Ebene ent
spricht, welche von der zu einem andern Parameterpaare gehörigen
verschieden ist. Die drei Punkte mögen die Koordinaten haben
(0, 0, 0), (x', y', z ), (x , y", z"). Hier darf man aber die Koor
dinate x um Za, [xa, r a vermehren, wofern nur Z, fi, v ganze
Zahlen sind. Dann ergeben sich die Gleichungen der Ebenen in
der Form:
1 X
y z
x — Za
y z
l Za
0 0
= 0, oder
x -j- (fl — /
)a y' z'
1 x -J- /ta y z
I x" -E ra y" z"
x + 0' — 1
)a y" z"
Da aber die Verminderung von x um Za keine Verschiedenheit
hervorruft, so können wir geradezu Z = 0 annehmen. Wenn
hier y'z"—y"z von null verschieden ist, so entspricht jedem
Paare (/i, r) eine bestimmte Ebene, die von der zu einem andern
Paare (fi, v') gehörigen Ebene notwendig verschieden ist. Unter
dieser Annahme wird auch für kein Wertepaar (y, z) der Wert
von x unbestimmt sein; die Ebene enthält also keine Gerade,
die der festen Richtung parallel ist. Alle Geraden der Ebene
sind unendlich, die Ebene selbst ist eine euklidische.
Wenn aber y'z" — y"z' == 0 ist, so wird die Gleichung der
