Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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Ki für jeden an irgend einer andern Stelle liegenden Körper K s 
eine einzige Bewegung bestimmt. Läfst man aber K s die hier 
durch gefundene Bewegung machen, so wird für K t diejenige 
Bewegung bestimmt, von der wir ausgingen. Dadurch wird die 
Bewegung von dem gewählten Körper ganz unabhängig und durch 
diejenige Stelle des Raumes bestimmt, welche der Körper in der 
Ruhelage deckt. Man spricht daher wohl von einer Bewegung 
des Raumes, nicht als wollte man dessen Beweglichkeit behaupten, 
sondern nur, um anzudeuten, dafs man für jeden Körper eine 
eindeutig bestimmte Bewegung erhält, sobald man die Stelle des 
Raumes kennt, welche er in der Anfangslage deckt. Diese Be 
ziehung ist so wichtig, dafs man verlangen mufs, sie durch einen 
kurzen, wenn auch etwas ungenauen Ausdruck bezeichnen zu 
können. 
Man kann aber mit dem Ausdruck noch eine zweite Vor 
stellung verbinden. A und A' seien zwei Lagen desselben festen 
Körpers K t ; wenn K x die erste Lage einnimmt, möge ein damit 
in der bezeichneten Weise verbundener Körper K s die Lage B 
decken. Gelangt nun K, durch die Bewegung in die Lage A', 
so wird auch K s eine bestimmte zweite Lage B' erhalten. So 
wird jedem Punkte P des Raumes, wofern er als der ersten Lage 
eines mit K* durch Vermittlung beliebiger Körper in Zusammen 
hang gebrachten Körpers K s angehörig betrachtet wird, ein zweiter 
Punkt P' entsprechen, in welchen derjenige Punkt von K s gelangt, 
welcher in der ersten Lage den Punkt P deckt. Hierdurch ist 
eine Zuordnung der sämtlichen Punkte des Raumes unter einander 
festgesetzt, indem jedem Punkte P ein bestimmter Punkt P' ent 
spricht. Gerade wie hier mit einer bestimmten zweiten Lage 
geschehen, läfst sich jede bei der Bewegung erlangte Lage und 
die dadurch bedingte Zuordnung der Punkte betrachten. Man 
erhält also im vorliegenden Falle eine stetige Folge von Zuord 
nungen der Punkte des Raumes; diese Folge von Zuordnungen 
ist durch die Bewegung eines festen Körpers bedingt; sie folgt 
denselben Gesetzen und bestimmt für jeden festen Körper selbst 
wieder eine Bewegung. Alle diese Beziehungen sollen durch den 
Ausdruck: Bewegung des Raumes, angedeutet werden. 
Aber die Voraussetzung, auf der die Zulässigkeit dieses Aus 
drucks begründet war, nämlich die Annahme, dafs die einem 
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