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Erster Abschnitt. § 7. 
Denn wenn xx -J- Xy + ,m = 0 die Gleichung einer geraden Linie 
ist, so verwandelt sie sich in z x' -f- Xy' -)- fi = 0, wo die x, X', fi 
von x, X, fi und den Koeffizienten der Transformation abhangen. 
Auch bleibt das Doppelverhältnis von irgend vier Punkten 
einer Geraden ungeändert; wenn also A, B, C, D vier Punkte 
einer geraden Linie sind, und diese in A', B', C, D umgeändert 
, .AG AD A'C A'D' 
werden, so ist r 
CB • DB CB ‘ D B' 
Wir können die Koeffizienten a, b, c, a', b', c 
in 
der mannigfachsten Weise so beschränken, dafs sie nur von drei 
Gröfsen abhängig sind. Dies gilt von der Gesamtheit der 
starren Bewegungen in der Ebene, 
wollen wir hinweisen. Wir setzen 
Auch auf folgendes System 
MX 
xy 
VX 
V = 
Ây 
Xy — (xv — Xfxy 
vx — Xy — (xv — Xu)' rx 
und bestimmen, dafs links u, v gesetzt werden soll, wenn rechts 
x, y durch x', y' ersetzt werden. Wenn nun zwischen u, v und 
u', v' die Transformationen der starren Bewegung 
u' = u cos t fi- v sin t + m 5 v = u sin t -j- v cos t -f- n 
zugelassen werden, so wird dadurch zwischen (x, y) und (x', y') 
ein gewisses System projektiver Beziehungen festgesetzt. Dabei 
bleiben die Punkte (x -(- Xi, ft-1— »i) und (x — Xi, fi — ri) unge 
ändert. Auf diese Vorstellungen kann man eine Art ebener Geo 
metrie gründen, und diese ist mit der der euklidischen Ebene 
identisch. Hierauf näher einzugehen, ist nicht nötig. Dagegen 
wird es gut sein, ein anderes System recht genau zu betrachten. 
Man gestatte, das Innere eines Kreises projektivisch so um 
zugestalten, dafs der begrenzende Kreis stets in Deckung mit 
seiner Anfangslage verbleibt. Aufser den Sätzen, welche wir 
bereits oben für jede projektivische Transformation angegeben 
haben, müssen wir, was allerdings auch mit Leichtigkeit aus den 
unten mitzuteilenden Formeln hervorgeht, den Satz voraussetzen, 
dafs das hier betrachtete System gestattet, einen beliebigen Innen 
punkt in jeden andern zu verwandeln, und dafs bei der Ruhe 
eines Punktes noch eine einfache Unendlichkeit von Transfor 
mationen möglich ist. Sind a und b zwei Punkte im Innern, 
so mufs ihre Verbindungsgerade den Kreis in zwei Punkten 
p und q schneiden. Wir wählen den Punkt p von a aus über b;