Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
297 
Körper führe man eine Verschiebung längst der ersten Achse 
(x ? — x 3 — . .. = x n = 0) aus. Von dieser Achse liegt nur ein 
gewisses Stück innerhalb der Ruhelage des Körpers; somit ist 
auch nur eine endliche dieser Achse angehörende Strecke gegeben, 
nämlich diejenigen Punkte, für welche die Koordinate x t hin 
länglich kleine positive und negative Werte erhält. Betrachten 
wir aber eine zweite durch die Verschiebung erhaltene Lage, und 
zwar eine solche, bei welcher ein Teil des Körpers noch dem 
in der Ruhelage gedeckten Raume angehört: so werden hierfür 
die Koordinaten x 2 ...x n ungeändert bleiben, alle x t aber um 
dieselbe (positive oder negative) Gröfsc wachsen. Wir müssen 
daher dieselbe Bestimmung auch für die neu gedeckten Punkte 
treffen. Wenn also irgend ein Punkt des Körpers in der Anfangs 
lage den Punkt (x 1} x 2 ...x„) des Raumes deckt, so müssen wir 
demjenigen Punkte, mit dem er in der zweiten Lage zusammen 
fällt, die Koordinaten (xx-R£x, x 2 ...x„) beilegen, wo von 
x x ... x n ganz unabhängig und nur durch die zweite Lage bestimmt 
ist. Auf dieselbe Weise können wir aber beliebig fortfahren; wir 
vergröfsern die gewählte Achse immer mehr und nehmen längs 
des neu erhaltenen Stückes eine Verschiebung vor. Somit kann 
die Gröfse f l5 um welche alle Xi wachsen sollen, ganz beliebig 
angenommen werden, und man kann den Koordinaten Xx, x 2 . .. x n 
auch dann noch einen Punkt zuordnen, wenn Xx beliebig grofs 
Ist, wofern nur die Gröfsen x 2 , x 3 ... x„ unterhalb derjenigen 
Grenzen bleiben, welche sich aus der Ruhelage des Körpers er 
geben. Durch die vorgenommene Verschiebung möge derjenige 
Punkt, welcher anfangs den Nullpunkt deckte, in den Punkt 
(£x, 0, 0,,..()) gelangen. In dieser Lage gehört dem Körper 
eine gerade Strecke an, deren Punkte den Gleichungen genügen 
(x 3 = x,x = ... = x n = 0, Xx = £x). Längs dieser Geraden kann 
wieder eine Verschiebung des Körpers vorgenommen, dadurch 
die Gerade selbst verlängert und das hinzugekommene Stück 
wieder als Achse einer Verschiebung gewählt werden. Auch 
diese Operation darf man beliebig fortsetzen. Dabei bleiben die 
Koordinatenwerte x 3 , x 4 .. .x n , Xx ungeändert, während der Wert 
von x 2 um eine gewisse Konstante £ 2 zunimmt. Derjenige Punkt 
des Körpers, der bei Beginn der ersten Bewegung den Anfangs 
punkt (0, 0...0) deckt, hat durch die beiden auf einander