Die Clifford-Kleinschen Raumforraen. 
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Im Anschlüsse hieran beweisen wir folgende Behauptung: 
»Wenn in einem Bereiche die Punkte J&uxt = b einer Ebene 
angehören, so genügen die Koordinaten für die Punkte eines 
benachbarten Bereiches, welche auf der Erweiterung der Ebene 
liegen, derselben Gleichung.« 
Zum Beweise betrachte man einen Bereich C, welcher zum 
Teil mit dem ersten Bereich A und zum Teil mit dem zweiten 
B zusammenfällt, mit dem ersteren den Teil C', mit dem zweiten 
den Teil C" gemeinschaftlich hat. Dann gilt die Beziehung für 
den Teil C'. Wir wählen ein Koordinatensystem, dessen Anfangs 
punkt innerhalb C liegt, so, dafs die neuen Koordinaten sich von 
den ursprünglich gewonnenen nur um gewisse Konstanten unter 
scheiden. Dann können wir für alle Punkte von C die Koor 
dinaten bestimmen und die Gleichung der genannten Ebene in 
den neuen Koordinaten herleiten. Diese ist für den ganzen 
Bereich von C linear und unterscheidet sich von der zu Grunde 
gelegten Form nur durch den Wert der Konstanten b. Hiernach 
wählt man in B das Koordinaten - System in passender Weise, 
und da sich die Form der Gleichung für den in C liegenden 
Teil der Ebene unmittelbar ergiebt, so gilt dieselbe Gleichung 
auch für den ganzen Bereich B. Gehen wir aber jetzt zu den 
ursprünglichen Koordinaten zurück, so bleiben die Koeffizienten 
a t ... a n ungeändert, während die Konstante b ihren ursprüng 
lichen Wert wieder annimmt. 
Dasselbe gilt für die Gerade und für die Ebenen von 2, 
3 ... n — 2 Dimensionen. 
Auf dieselbe Weise zeigt man, dafs, wenn für einen Bereich 
durch eine Bewegung die Koordinaten stetig nach den Gleichungen 
umgestaltet werden; 
(1) yL === 2.1XKX -j— bi 
* 
auch die hierdurch für einen benachbarten Bereich vermittelte 
Bewegung durch dieselben Gleichungen bestimmt wird. Zwischen 
den Koeffizienten bestehen die Relationen: 
(2) 2hiq2lxq = ö ix (=1 oder =0) und 
(3) Det. ja**! = 1.