Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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Wenn ein gewisses endliches Gebiet des Raumes die Eigen 
schaften eines n-dimensionalen euklidischen Raumes besitzt, so 
dafs die Winkelsumme für jedes darin enthaltene Dreieck zwei 
Rechte beträgt, so kann man jedem Wertsystem (x t . ..x n ) einen 
Punkt in der Weise zuordnen, dafs alle einer linearen Gleichung 
zwischen X] ... x n genügenden Punkte auf einer (n—1)-dimen 
sionalen Ebene liegen, und dafs die gleichzeitige Bewegung zweier 
fest mit einander verbundener Körper durch dieselben Gleichungen 
dargestellt wird. 
Hier entspricht jedem Wertsystem (x t ... x n ) ein einziger 
Punkt. Es ist offenbar gestattet, auch umgekehrt jedem Punkte 
nur ein einziges Wertsystem zuzuordnen. Aber wir haben die 
Frage zu stellen, ob diese Zuordnung auch notwendig ist. Mit 
der Beantwortung dieser Frage wollen wir uns in den folgenden 
Paragraphen eingehend beschäftigen. Jetzt stellen wir für die 
Raumform die Bedingung, als Ganzes allgemein bewegt werden 
zu können; d. h. wenn wir von einer beliebigen Bewegung eines 
festen Körpers ausgehen, so soll die hieraus für einen zweiten 
festen Körper hergeleitete Bewegung unabhängig sein von den 
vermittelnden Körpern. Dieser Forderung genügt man offenbar, 
wenn man jedem Punkte ein einziges Wertsystem (xi...x„) 
zuordnet; wir wollen nach weisen, dafs man die aufgestellte For 
derung auf keine andere Weise befriedigen kann. Zu dem Ende 
nehmen wir an, die Koordinaten (xF-.-Xn') und (x 1 "...x a ") 
stellten denselben Punkt dar. Dann mufs bei jeder Bewegung, 
bei der (xi ...x n ) in Ruhe gehalten wird, auch (xi"...x n ") in 
Ruhe bleiben. Jede derartige Bewegung läfst sich durch Zusammen 
setzung von 
n 0 -1) 
Drehungen erhalten, von denen jede durch 
die Gleichungen dargestellt wird: 
0,-W) cosy-t** 
(x,-*<)sm»+( x * 
X*') sin f/ 
Xjf ) COS (fj 
Jx — Xl (für X ^ l ^ x; /, x, X = 1.. . n). 
Soll hier für x t —Xi"... x n = x n " auch y x = x L ".,. y n — x n 
sein, so mufs entweder die Gleichung 2— 2cosg> = 0 bestehen 
oder es mufs sein x x ‘ — xx, x/' — xi'. Da aber für ein belie 
biges (f die erste Gleichung nicht befriedigt werden kann, so