302 
Vierter Abschnitt. § 5. 
folgt x i' = x t" für i — 1... n. Somit entspricht jedem Punkte 
nur ein einziges Wertsystem, und es zeigt sich, dafs nur die 
euklidische Raumform den gestellten Forderungen genügt. 
Die vorstehend für einen Raum von verschwindender Krüm 
mung durchgeführte Entwicklung läfst sich nicht unmittelbar auf 
die übrigen Raumformen übertragen. Statt die Änderungen im 
einzelnen anzugeben, ziehen wir es vor, einen zweiten, durchaus 
selbständigen Weg zu verfolgen, welcher für alle Raumformen 
gleichmäfsig gilt und nur den einen Nachteil besitzt, nicht so 
anschaulich zu sein, wie der mitgeteilte. Bei der Darstellung 
werden wir stets einen endlichen Wert von k 2 voraussetzen; die 
Änderungen, welche für einen unendlich grofsen Wert angebracht 
werden müssen, sind so geringfügig, dafs sie nicht erwähnt zu 
werden brauchen. 
In den §§ 24 und 25 des ersten Abschnittes (S. 80) sind 
wir von einem Bereich ausgegangen, welcher die Eigenschaft 
besitzt, dafs durch je zwei Punkte desselben nur eine einzige 
ganz dem Bereich angehörige gerade Strecke gelegt werden kann. 
Ein solcher Bereich soll auch den folgenden Untersuchungen zu 
Grunde liegen. Wie wir dort bewiesen haben, gelten für jedes 
hierin enthaltene geradlinige Dreieck die trigonometrischen Formeln; 
namentlich werden wir von den Gleichungen (8), (9), (10) des 
§ 24 vielfachen Gebrauch machen. Wir haben zunächst nach 
zuweisen, dafs dieselben Gleichungen für jedes geradlinige Dreieck 
gelten. Zu dem Ende legen wir zwei Dreiecke ABC und ABC 
zu Grunde, welche eine Seite AB 
gemeinschaftlich haben und in denen 
die Seite AG' des zweiten auf der 
Verlängerung CA des ersten liegt. 
C* Wir nehmen ferner an, dafs für 
jedes dieser Dreiecke die entwickelten 
Gleichungen gelten, und wollen nachweisen, dafs auch die Seiten 
und Winkel des Dreiecks BCC durch dieselben Beziehungen mit 
einander verbunden sind. 
Die Seiten BC, CA, AB und die gegenüberliegenden Winkel 
A, ß, C des ersten Dreiecks mögen der Reihe nach mit a, b, c; 
a, /?, y und die entsprechenden Seiten und Winkel des zweiten 
mit a', b', c'; ß', y' bezeichnet werden. Nach unserer Annahme