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Vierter Abschnitt. § 5. 
da die beiden Produkte: 
b' 
sin p COS , COS ßl sin, COS«—sin^ COS k COS/?'-{-COS sin p 
und 
sin r cos , cosß'[ —sin r cos«—sin r cos r cos/? + c° s r sinr 
k k V k k k kk 
b' 
als verschwindend wegfallen. Durch Subtraktion von sin p sin p 
folgt hieraus: 
b + b' a a' . a . a . b . b' . 
cos —— = cos . cos .—(- sin r sin, COSp cosp—sin r sin, sin 2 «, 
k k k k k k k 
welche Gleichung infolge der Beziehung: 
. b . b' . 
Sin p Sin p- sin 2 « 
ci (l 
sin. sin 1 sin ß sin ß' 
übergeht in 
b —)— b b b a . a , 0 . 
cos —— = cos r cos . -f- sin r sin . COS {ß ß ). 
k k k k k 
In ähnlicher Weise lassen sich die weiteren Gleichungen 
verifizieren. 
Nun lasse man von einem Punkte 0 zwei gerade Linien OA 
und OB ausgehen und nehme an, es sei möglich, auf jeder dieser 
Linien p Punkte A x , A 2 , A 3 .. . A p und B l3 B 2 , B 3 ...B P , wo 
A p mit A und B p mit B zusammenfällt, so anzunehmen, dafs je 
zwei zusammengehörige Punkte 
paare AiAi +1 , Bi B i +1 für i = 
1. .. p — 1 einem Bereiche von 
der vorausgesetzten Beschaffen 
heit angehören und dafs das 
selbe für die drei Punkte OAiBj 
gilt (Fig. 39). Dann ist die Gültigkeit der trigonometrischen 
Formeln direkt erwiesen für OA^ und für jedes Dreieck 
Ai A i+1 Bi und A i+1 Bi B i+1 . Somit gelten diese-Gleichungen auch 
für das Dreieck OA 2 B x und indem man hierzu A^B«, hinzu 
nimmt, für OA 2 B 2 . Auf gleiche Weise kann man zu jedem 
Dreieck OAiBi erst A } A i+1 ßi und dann A i+1 B L B i+1 hinzunehmen 
und beweist dadurch schliefslich die Gültigkeit auch für das 
Dreieck OAB. Mit diesem Dreieck kann man aber wieder ein 
Dreieck OBB' vereinigen, wo die Punkte ABB in derselben