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Vierter Abschnitt. § 5. 
folgt 
£1 2 + • • • H - £q 2 = k 2 sin 2 ^ 
Xi 2 + • • • + X„ 2 = k 2 sin 2 i 
und daraus: 
(5) k 2 x a 2 -f x t 2 + . . . +x n 2 = k 2 . 
Nachdem x 0 , Xi ... x n so gewählt sind, dafs sie dieser Gleichung 
genügen, kann man bei einem positiven Werte von k 2 eine Reihe 
von Werten für 1 hieraus berechnen und jedem solchen (mit 
Ausnahme eines Wertes ,uk7r) einen einzigen Punkt zuordnen. 
Für ein negatives k 2 mufs der Wert von x 0 positiv und gröfser 
als eins sein, und wenn dann noch Xi ...x n so gewählt sind, 
dafs sie der Relation (5) genügen, so folgt ein einziger Wert 
von 1; hier wird also durch beliebige Werte von Xi ...x n stets 
ein einziger Punkt bestimmt. 
Obwohl es für das folgende nicht notwendig ist, möchte ich 
darauf hinweisen, dafs, wofern für die Punkte einer (n—^-dimen 
sionalen Ebene, soweit sie dem zu Grunde gelegten Bereiche an 
gehören, die Gleichung besteht: 
^iXi + ...-f a„x 0 — 0, 
diese Gleichung auch für die durch Erweiterung der Ebene er 
haltenen Punkte gilt. Zieht man nämlich durch den Anfangspunkt 
eine beliebige Gerade in dieser Ebene, so mufs diese Gerade 
ganz in der Ebene liegen. Da aber die Koordinaten Xi ... x n 
für alle Punkte der Geraden mit derselben Gröfse multipliziert 
werden, so genügen auch die Koordinaten der neu erhaltenen 
Punkte derselben Gleichung. Speziell stellt die Gleichung x t — 0 
eine Koordinatenebene in ihrer ganzen Ausdehnung dar. 
Durch den oben angegebenen Prozefs sei man vom Anfangs 
punkte O aus zu zwei Punkten A und B gelangt, wo 1 und 1' 
die entsprechenden Längen, und a 1 ...a n die Neigungswinkel 
der Geraden OA, '.. . a n die von OB gegen die Koordinaten 
ebenen sind. Für A mögen sich die Koordinaten x 0 , x t ...x n 
und für B die x 0 ', xx'.-.x,,' ergeben. Zieht man eine gerade 
Strecke von A nach B und bezeichnet ihre Länge mit a, so mufs 
die Gleichung bestehen: