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Vierter Abschnitt. § 5. 
ihrer Hülfe die neuen Koordinaten y 0 , ji . ..y n , so gelten auch 
für diese die Beziehungen (5) und (6). Statt also die Gröfsen 
x 0 , x x ... x n und y 0 , yi ... y n vermittelst geometrischer Betrach 
tungen in einander überzuführen, kann man, wie wir in III § 9 
S. 205 gethan haben, die Gleichungen (5) und (6) benutzen, 
deren allgemeine Gültigkeit wir bewiesen haben. Aus den Formeln, 
diezwischen den Variabein in zwei verschiedenen Weierstrafsschen 
Koordinatensystemen bestehen, läfst sich ein sehr einfacher Beweis 
dafür herleiten, dafs die Formeln der analytischen Geometrie ganz 
allgemein gelten. Indessen ist es auch nicht schwer, die wich 
tigsten Beziehungen direkt zu entwickeln. 
So seien zwei Punkte x' und x" hinreichend nahe bei einander 
gegeben. Sucht man die Gesamtheit derjenigen Punkte, welche 
von ihnen gleichen Abstand haben, so erhält man die homogen 
lineare Gleichung: 
• (7) k ? x 0 (x 0 ' — Xq ) -p Xi (x! —Xi -f- x n (x n x n ) = 0. 
Diese Gleichung stellt also in der Umgebung der Punkte x’ 
und x" eine Ebene dar. Ersetzt man den Punkt x' durch irgend 
einen andern Punkt des Bereiches, so kann man einen Punkt x" 
so bestimmen, dafs die Gleichung (7) nur mit einem konstanten 
Faktor multipliziert wird, wofern man die Punkte x' und x" hierin 
durch das neue Punktepaar ersetzt. Der gewählte Bereich möge 
mit M bezeichnet werden; N sei ein zweiter derartiger Bereich, 
welcher mit M teilweise zusammenfällt. Wählt man zwei Punkte 
y' und y" in gleichem Abstande von der Ebene und in dem Teile, 
welcher M und N gemeinschaftlich ist, so wird man als geome 
trischen Ort der Punkte gleichen Abstandes (bis auf einen kon 
stanten Faktor) wieder die Gleichung (7) erhalten. Diese Gleichung 
gilt dann sowohl für den Bereich M wie für N; also genügt die 
Fortsetzung der Ebene in den Bereich N wieder der obigen 
Gleichung. Auf diese Weise kann man beliebig fortfahren und 
findet, dafs die ganze Ebene der Gleichung (7) genügt. 
Setzt man zwischen den Koeffizienten in der Gleichung einer 
Ebene: 
(8) a 0 x 0 -f- ai Xi -(- ... -j— a n x n = 0 
die Beziehung fest: 
(9) -dh- —j— ai 2 —f-... —a n 2 = 1,