Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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so gilt für jeden Punkt y des Raumes die Beziehung; 
a oJo + a iyi + • • • + a nYn — k sin p 
wo r den senkrechten Abstand des Punktes von der Ebene be 
zeichnet. Das folgt einfach daraus, dafs die trigonometrischen 
Formeln ganz allgemein gelten. Somit ist für jeden Punkt des 
Raumes: 
i • Pt 
Xi = ksm- r , 
K 
wo p t die Länge einer geraden Strecke ist, welche vom Punkte 
x ausgeht, bis zur Ebene Xx = 0 reicht und auf ihr senkrecht steht. 
Setzen wir jetzt für einen Körper in irgend einem Teile des 
Raumes eine Bewegung voraus, so wird diese für den Körper 
selbst durch die bekannten Gleichungen angegeben, in denen die 
Koeffizienten Funktionen der Zeit sind. Wir ersetzen den Körper 
durch einen andern, welcher in seiner Anfangslage nur einen 
Teil desjenigen Raumes deckt, den der zuerst gewählte Körper 
in der Anfangslage einnahm. Auch jetzt wird die Bewegung 
wieder durch dieselben Gleichungen bestimmt; diese gelten also 
auch für diejenigen Punkte, welche nur dem zweiten, aber nicht 
dem ersten Körper in der Anfangslage angehören. In dieser 
Weise können wir aber beliebig fortfahren, und wir erhalten stets 
dieselben Gleichungen. Dadurch können wir für jeden beliebigen 
zweiten Körper eine einzige Bewegung erhalten. Diese Bewegung 
des zweiten Körpers wird aber jedesmal hergeleitet, wenn die 
Einschiebung neuer Körper zwischen die beiden gegebenen in 
einer Weise erfolgt, wie sie dem analytischen Übergange von 
den Koordinaten des ersten zu denen des zweiten Körpers ent 
spricht. Daraus folgt der Satz: 
»Sind zwei Körper Kx und K s beliebig im Raume und ist 
für Kx irgend eine Bewegung gegeben, so kann man stets zwischen 
K x und K s weitere Körper K 2 . ,.K s _x, von denen je zwei auf 
einander folgende Zusammenhängen, so einschieben, dafs die hier 
durch für K s hergeleitete Bewegung durch dieselben Gleichungen 
bestimmt wird, wie die für K t gegebene Bewegung.« 
Wir wollen jetzt nachweisen, dafs nach Annahme der Koor 
dinatenebenen und der Längeneinheit durch die obige Festsetzung 
jedem Wertsystem x 0 , x x ... x n nur ein einziger Punkt zugeordnet