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Erster Abschnitt. § 7. 
welche für die angegebenen Transformationen gelten. Den Radius 
des Kreises setzen wir gleich eins und wählen den Mittelpunkt spitze 
zum Anfangspunkte des Koordinatensystems, so dafs die Gleichung ^ ^ 
x 2 + y2 = l , 
ungeändert bleiben mufs. Um den gemeinschaftlichen willkürlichen m j t 
Faktor der neun Koeffizienten passend zu verwenden, setzen wir theor 
folgende Beziehungen zwischen denselben fest: auc j 1 
a' 2 + a" 2 — a 2 = 1, b' 2 -f b" 2 — b 2 = 1, c 2 + c' /2 — c 2 = — 1, Inner 
ab' -j- ab"— ab = 0, a'c' -f- a"c" —ac = 0, b'c -J- b"c" — bc = 0. dafs - 
Damit bleiben drei Koeffizienten willkürlich. Soll hier der jede 
Mittelpunkt in einen beliebigen andern Punkt des Innern gebracht Gerat 
werden, so sind dadurch c : c und c : c gegeben, und hieraus Eben 
lassen sich alle Koeffizienten bis auf einen bestimmen. den < 
Soll eine Gerade mx -(- ny = p den Kreis schneiden, so mufs entsp 
diejenige neue Gleichung, welche man aus der Verbindung der ^ ew€ 
vorstehenden Gleichung mit der des Kreises x 2 +y 2 — 1 erhält, 
einen positiven Ausdruck unter dem Wurzelzeichen haben; es 
mufs also der Ausdruck m 2 + n 2 — p 2 positiv sein, und da man 
m, n, p mit einem beliebigen Faktor multiplizieren darf, ist es 
gestattet, die Beziehung keine 
m 2 —(— n 2 — p 2 = 1 w ir < 
zwischen den Koeffizienten vorauszusetzen. Nimmt man dieselbe iahru: 
Beziehung zwischen den Koeffizienten m', n, p einer zweiten herrs» 
geraden Linie an, so wird der Winkel (p, den die beiden Geraden au ^ s ; 
mit einander bilden, durch die Gleichung bestimmt: ^i 
, , nicht 
cos (j — mm -j- nn — pp . 
eigen 
Dies beweist man in folgender Weise: Formt man die stellte 
Gleichungen mx -f- ny — p — 0 und m'x -j- n'y — p = 0 durch 
Transformationen um, zwischen deren Koeffizienten die angegebenen 
° ° f , uns e 
Beziehungen bestehen, so bleibt die rechte Seite mm' + nn — PP ; st 
ungeändert; dieser Ausdruck hat aber den Wert cos (f, wenn p • ’p 
und p' beide null sind; folglich hat er ihn ganz allgemein. einen 
Bildet die Gerade mx -|- ny—p = 0 mit der x-Achse den Wecl 
Winkel a, so ist cos a = m; und wenn dieselbe Gerade mit ] 
der y-Achse den Winkel ß bildet, so ist cos ß = n. Nun ist Aber 
m 2 n 2 — 1 + p 2 , also für ein nicht verschwindendes p immer liehe 
m 2 + n 2 k>l oder cos 2 «>>1 — cos 2 ß oder da « und ß beides uns ]