Die Clifford-KIeinschen Raumformen. 
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Bei der ersten Bewegung bleiben alle Wertsysteme x 2 =a 2 , 
X3 = a 3 ungeandert, und nur diese; bei der zweiten Xj =ai, 
X3=a 3 . Sollte also der Punkt (a t , a 2 , a 3 ), der bei beiden 
Bewegungen in Ruhe bleibt, auch noch die Koordinaten (b,, b 2 , b 3 ) 
haben, so müfsten beide Gleichungssysteme auch füry i = x i = b i 
erfüllt werden, was unmöglich ist. 
Ebenso denke man sich für ein negatives k 2 bei drei Dimen 
sionen von einem Punkte aus zwei gerade Linien gezogen und 
um jede von diesen eine Drehung ausgeführt. Die beiden Systeme 
von Bewegungsgleichungen lassen nur ein einziges Quadrupel 
von Koordinaten ungeandert; da jedem Quadrupel, wie wir bereits 
wissen, ein einziger Punkt entspricht, für verschiedene Quadrupel, 
die zu demselben Punkte gehören, alle Bewegungsgleichungen 
dieselben Werte liefern müssen, so ist die Beziehung zwischen 
den Koordinaten und den Punkten eindeutig. Ähnliche Betrach 
tungen können für jede Zahl von Dimensionen angestellt werden. 
Wenn bei einem negativen k 2 die Bewegungsgleichungen 
yi = (f i (x„, x, .. .x n ) für yi =■ Xi = xt' befriedigt werden, so 
genügt man diesen Gleichungen auch für y¿=x t =—xL; aber 
bei einem negativen Werte von x 0 stellen x 0 , x x ...x n keinen 
reellen Punkt dar. Anders ist es bei einem positiven Werte von 
k 2 ; hier darf man also annehmen, (was auch schon früher be 
wiesen ist), dafs die Punkte (x 0 , X! ...x n ) und (—x 0 , —... 
— x„) identisch sind. In der That erhält man in der Gleichung 
(10) statt y () , yi ...y„ jedesmal — y 0 , — y x ... — y n , wenn 
man Xv, X] . . . x n durch — x 0 , — Xt ... — x„ ersetzt. Aber andere 
Möglichkeiten sind nicht vorhanden. Wir gelangen also zu fol 
gendem Resultate; 
»Es giebt nur vier Raumformen, welche als Ganze alle Be 
wegungen eines festen Körpers fortsetzen können, nämlich die 
Euklidische, die Lobatschewskysche, die Riemannsche und die 
Kleinsche Raumform.« 
In schärferer Form läfst sich dies Resultat folgendermafsen 
aussprechen: 
»Wenn ein Körper bewegt wird, so wird dadurch auch für 
jeden andern Körper, der mit ihm vermittelst weiterer Körper 
verbunden ist, eine einzige Bewegung bestimmt. Die aut diese